Cómo determinar las velocidades máximas y mínimas de objetos que se mueven

Uno de los usos más prácticos de la diferenciación es encontrar los valores máximos o mínimos de una función en el mundo real, por ejemplo, las velocidades máximas y mínimas de un objeto en movimiento.

Usted puede pensar en velocidad como la versión más técnica de velocidad.

He aquí un ejemplo. Un yo-yo se mueve hacia arriba y hacia abajo. Su altura sobre el suelo, como una función del tiempo, viene dada por la función de H(t) = t³ - 6t² + 5t + 30, donde t es en segundos y H(t) Es en pulgadas. A t = 0, el yo-yo es de 30 pulgadas por encima del suelo, y después de 4 segundos, es a una altura de 18 pulgadas, como se muestra en esta figura.

Para determinar la distancia total del yo-yo se desplaza, es necesario sumar las distancias recorridas en cada escala de la gira del yo-yo: la pierna, la pierna hacia abajo, y la segunda por la pierna.

En primer lugar, el yo-yo sube desde una altura de 30 pulgadas a alrededor de 31,1 pulgadas (donde el primer vuelco punto es). Eso es una distancia de aproximadamente 1.1 pulgadas. A continuación, se cae desde aproximadamente 31,1 a aproximadamente 16,9 (la altura de la segunda vuelco punto). Eso es una distancia de 31,1 menos 16,9, o alrededor de 14.2 pulgadas. Por último, el yo-yo sube de nuevo de aproximadamente 16.9 pulgadas a su altura final de 18 pulgadas. Esa es otra de 1,1 pulgadas. Añadir estos tres distancias para obtener la distancia total recorrida:

Nota: Compara esta respuesta al desplazamiento total de # 8201- -12, que se obtiene de restar la altura final del yo-yo, de 18 pulgadas, de su altura inicial de 30 pulgadas. El desplazamiento es negativo porque el movimiento neto es a la baja. Y la cantidad positiva del desplazamiento (es decir, 12) es menor que la distancia recorrida de 16,4, ya que con el desplazamiento de las piernas para arriba de viaje del yo-yo anulan parte de la distancia por la pierna. Echa un vistazo a las matemáticas:

Velocidad media del yo-yo está dada por la distancia total recorrida dividida por el tiempo transcurrido. Por lo tanto,

Digamos que usted determina que la velocidad máxima del yo-yo es de 5 pulgadas por segundo y su velocidad mínima es de -7 pulgadas por segundo. Una velocidad de -7 es una velocidad de 7, por lo que es la velocidad máxima del yo-yo. Su velocidad mínima de cero se produce en los dos puntos de entrega.

Una buena manera de analizar la velocidad máxima y la mínima es de tener en cuenta la función de la velocidad y su gráfica. (O, si eres un masoquista, echa un vistazo a la siguiente galimatías.) Velocidad es igual al valor absoluto de la velocidad.

Velocity, V(t), Es la derivada de la posición (altura, en este problema). Por lo tanto:

Así, para el problema de yo-yo, la función de la velocidad,

Echa un vistazo a la gráfica de S(t) En la siguiente figura.

Mirando este gráfico, es fácil ver que la velocidad máxima del yo-yo se produce en t = 2

y que la velocidad mínima es cero en los dos X-intercepta.

Mínima y máxima velocidad: Para un continuo velocidad función, el velocidad mínima es cero siempre que las velocidades máximas y mínimas son de signos opuestos o cuando uno de ellos es cero. Cuando las velocidades máximas y mínimas son ambos positivos o ambos negativos, entonces la mínimo la velocidad es la menor de los valores absolutos de los máximos y mínimos de velocidades. En todos los casos, la máximo la velocidad es la mayor de los valores absolutos de los máximos y mínimos de velocidades. ¿Eso es un bocado o qué?