Cómo analizar la posición, velocidad y aceleración con la diferenciación

Cada vez que te metes en tu coche, ser testigo de primera mano la diferenciación. Su velocidad es la primera derivada de su posición. Y cuando se pisa el acelerador o el freno - acelerar o desacelerar - experimenta una segunda derivada.

Si una función da la posición de algo como una función del tiempo, la primera derivada da su velocidad, y la segunda derivada da su aceleración. Así, a diferenciar posición para obtener la velocidad y diferenciar la velocidad para obtener la aceleración.

He aquí un ejemplo. Un yo-yo se mueve hacia arriba y hacia abajo. Su altura sobre el suelo, como una función del tiempo, viene dada por la función de

dónde t es en segundos y H(t) Es en pulgadas. A t = 0, es de 30 pulgadas por encima del suelo, y después de 4 segundos, es a la altura de 18 pulgadas.

Velocity, V(t) Es la derivada de la posición (altura, en este problema), y la aceleración, LA(t), Es la derivada de la velocidad. Por lo tanto

Velocity versus velocidad. Sus amigos no se quejan - o incluso notar - si utiliza las palabras "velocidad" y "velocidad" de manera intercambiable, pero su matemático amigable será quejarse. Aquí está la diferencia.

Para la función de la velocidad en la figura anterior, hacia arriba el movimiento se define como una positivo velocidad y hacia abajo la velocidad se define como una negativo la velocidad - esto es la velocidad de manera estándar s tratada en la mayoría de problemas de cálculo y física. (Si el movimiento es horizontal, yendo a la derecha es una velocidad positiva y va a la izquierda es una velocidad negativa.)

Velocidad, Por otro lado, siempre es positiva (o cero). Si un coche pasa a 50 mph, por ejemplo, usted dice su velocidad es de 50, y que quiere decir positivo 50, independientemente de si se va a la derecha oa la izquierda. Para la velocidad, la dirección matters- para la velocidad no lo hace. En la vida cotidiana, la velocidad es una idea simple que la velocidad, ya que está de acuerdo con el sentido común. Pero en el cálculo, la velocidad es en realidad la idea más complicado, ya que no encaja muy bien en el esquema de tres funciones se muestra en la figura anterior.

Tienes que mantener la distinción velocidad de velocidad en cuenta al analizar la velocidad y la aceleración. Por ejemplo, si un objeto se va hacia abajo (o hacia la izquierda) más y más rápido, su velocidad es cada vez mayor, pero su velocidad es decreciente debido a su velocidad se está convirtiendo en un negativo más grande (y negativos más grandes son los números más pequeños). Esto parece extraño, pero esa es la forma en que funciona. Y aquí hay otra cosa extraña: La aceleración se define como la tasa de cambio de la velocidad, no la velocidad. Así, si un objeto se está desacelerando mientras que va en la dirección hacia abajo, y por lo tanto tiene una creciente velocidad - porque la velocidad se está convirtiendo en un negativo más pequeño - el objeto tiene una positivo aceleración. En Inglés todos los días, que diría el objeto se está desacelerando (desaceleración), pero en la clase de cálculo, es decir que el objeto tiene una velocidad negativa y una aceleración positiva. (Por cierto, "desaceleración" no es exactamente un término técnico, por lo que probablemente debería evitarlo en clase de cálculo Lo mejor es utilizar el siguiente vocabulario:. "Aceleración positiva", "aceleración negativa", "acelerar", y "desaceleración".

Máximo y mínimo altura de H(t) Se producen en el extremos locales que se ve en la figura anterior. Para localizarlos, establezca la derivada de H(t) - Que es V(t) - Igual a cero y resolver.

Estos dos números son los ceros de V(t) y el t-coordina - que es hora-coordina - del máximo y mínimo de H(t), Que se puede ver en la segunda figura. En otras palabras, estos son los momentos en los que el yo-yo alcanza sus cotas máximas y mínimas. Conecte estos números en H(t) Para obtener las alturas:

H (0,47) asintomática 31.1

H (3,53) asintomática 16.9

Así, el yo-yo se pone tan alto como aproximadamente 31.1 pulgadas sobre el suelo en t asintomática 0,47 segundos y un precio tan bajo como aproximadamente 16,9 pulgadas en t asintomática 3.53 segundos.

Cilindrada total se define como la posición final menos la posición inicial. Por lo tanto, debido a que el yo-yo comienza a una altura de 30 y termina a una altura de 18,

Tdesplazamiento otal = 18 - 30 = -12.

Esto es negativo porque el movimiento neto es hacia abajo.

Velocidad media está dada por el desplazamiento total dividido por el tiempo transcurrido. Por lo tanto,

Esta respuesta negativa le dice que el yo-yo es, en promedio, de ir abajo 3 pulgadas por segundo.

La velocidad máxima y mínima del yo-yo durante el intervalo de 0 a 4 segundos se determinan con el derivado de V(t): Establezca la derivada de V(t) - Que es LA(t) - Igual a cero y resolver:

Ahora, evaluar V(t) En el número crítico, 2, y en los extremos del intervalo, 0 y 4:

Así, el yo-yo tiene una velocidad máxima de 5 pulgadas por segundo dos veces - por lo tanto el principio y el final del intervalo. Alcanza una velocidad mínima de -7 pulgadas por segundo a t = 2 segundos.

La distancia total recorrida se determina mediante la suma de las distancias recorridas en cada escala de la gira del yo-yo: la pierna, la pierna hacia abajo, y la segunda por la pierna.

En primer lugar, el yo-yo sube desde una altura de 30 pulgadas a alrededor de 31,1 pulgadas (donde el primer vuelco punto es). Eso es una distancia de aproximadamente 1.1 pulgadas. A continuación, se cae desde aproximadamente 31,1 a aproximadamente 16,9 (la altura de la segunda vuelco punto). Eso es una distancia de 31,1 menos 16,9, o alrededor de 14.2 pulgadas. Por último, el yo-yo sube de nuevo de aproximadamente 16.9 pulgadas a su altura final de 18 pulgadas. Esa es otra de 1,1 pulgadas. Añadir estos tres distancias para obtener la distancia total recorrida: ~ 1.1 ~ + 14.2 + 1.1 ~ asintomática 16.4 pulgadas.

Velocidad media está dada por la distancia total recorrida dividida por el tiempo transcurrido. Por lo tanto,

Velocidad máxima y mínima. Usted previamente determinada velocidad máxima del yo-yo (5 pulgadas por segundo) Y su velocidad mínima (-7 pulgadas por segundo). Una velocidad de -7 es una velocidad de 7, por lo que es la velocidad máxima del yo-yo. Su velocidad mínima de cero se produce en los dos puntos de entrega.

Para un continuo velocidad función, el mínimo velocidad es cero siempre que las velocidades máximas y mínimas son de signos opuestos o cuando uno de ellos es cero. Cuando las velocidades máximas y mínimas son ambos positivos o ambos negativos, entonces la mínimo la velocidad es el menor de los valores absolutos de los máximos y mínimos de velocidades. En todos los casos, la máximo la velocidad es la mayor de los valores absolutos de los máximos y mínimos de velocidades. ¿Eso es un bocado o qué?

La aceleración máxima y mínima puede parecer inútil cuando se puede observar la gráfica de LA(t) Y ver que la aceleración mínima de -12 se produce en el extremo izquierdo cuando t = 0 y que la aceleración luego sube a su máximo de 12 en el extremo derecho cuando t = 4. Pero no es inconcebible que usted obtendrá uno de esos maestros de cálculo muy exigentes que tiene el descaro de exigir que en realidad se hacen las cuentas y mostrar su trabajo - por lo que morder la bala y hacerlo.

Para encontrar min de la aceleración y un máximo de t = 0 a t = 4, establezca la derivada de LA(t) Igual a cero y resolver:

Esta ecuación, por supuesto, no tiene soluciones, así que no hay números críticos y así el extremos absolutos deben ocurrir en los extremos del intervalo, 0 y 4.

Usted llega a las respuestas que ya sabíamos.

Tenga en cuenta que cuando la aceleración es negativo - en el intervalo [0, 2) - que significa que la velocidad es decreciente. Cuando la aceleración es positivo - en el intervalo (2, 4] - la velocidad es creciente.

La aceleración y desaceleración. Averiguar cuando el yo-yo está acelerando y ralentizando es probablemente más interesante y descriptivo de su movimiento a la información anterior. Un objeto se está acelerando (lo que llamamos "aceleración" en el habla cotidiana) siempre que la velocidad y la aceleración de cálculo son ambos positivos o ambos negativos. Y un objeto se está desacelerando (lo que llamamos "desaceleración") cuando la velocidad y la aceleración de cálculo son de signos opuestos.

Mira todas las tres gráficas en la figura de arriba de nuevo. De t = 0 a alrededor de t = 0,47 (cuando la velocidad es cero), la velocidad es positiva y la aceleración es negativa, por lo que el yo-yo está desacelerando la ciudad (hasta alcanzar su altura máxima). Cuando t = 0, la desaceleración es mayor (12 pulgadas por segundo por segundo- el gráfico muestra una aceleración de negativo 12, pero aquí estamos llamando una desaceleración por lo que el 12 es positivo). Desde aproximadamente t = 0,47 a t = 2, tanto la velocidad y la aceleración son negativos, por lo que el yo-yo se desacelera de nuevo (hasta que toque fondo a la altura más baja). Por último, desde alrededor t = 3.53 a t = 4, tanto la velocidad y la aceleración son positivos, por lo que el yo-yo está acelerando de nuevo. El yo-yo alcanza su mayor aceleración de la 12 pulgadas por segundo por segundo a t = 4 segundos.

Atar todo junto. Tenga en cuenta las siguientes conexiones entre los tres gráficos en la figura anterior. los negativo la sección de la gráfica de LA(t) - de t = 0 a t = 2 - corresponde a una decreciente la sección de la gráfica de V(t) y un cóncava hacia abajo sección de la gráfica H(t). los positivo intervalo de la gráfica de LA(t) - de t = 2 a t = 4 - corresponde a una creciente intervalo en el gráfico de V(t) y un cóncava arriba intervalo en el gráfico H(t). Cuando t = 2 segundos, LA(t) Tiene un cero, V(t) tiene un mínimo local, y H(t) Tiene una punto de inflexión.