¿Cómo encontrar el valor medio con el teorema del valor medio para integrales
Usted puede encontrar el valor medio de una función en un intervalo cerrado usando el teorema del valor medio para integrales. La mejor manera de entender el teorema del valor medio para integrales es con un diagrama - mira el siguiente figura.
El gráfico de la izquierda muestra un rectángulo cuya área es claramente Menos de el área bajo la curva entre 2 y 5. Este rectángulo tiene una altura igual al punto más bajo en la curva en el intervalo de 2 a 5.
El gráfico central muestra un rectángulo cuya altura es igual al punto más alto de la curva. Su área es claramente mayor de el área bajo la curva. Por ahora usted está pensando, " ¿No hay un rectángulo más alto que la corta y más corta que la altura de un cuya área es lo mismo que el área bajo la curva "? Claro. Y este rectángulo, obviamente, cruza la curva en algún lugar en el intervalo. Este llamado rectángulo valor medio, que se muestra a la derecha, básicamente resume el teorema del valor medio para integrales.
Es sólo sentido común. Pero aquí está la Mumbo Jumbo.
El teorema del valor medio para integrales: Si F (X) Es una función continua en el intervalo cerrado [una B], Entonces existe un número c en el intervalo cerrado de tal manera que
El teorema básicamente sólo garantiza la existencia del rectángulo valor medio.
El área del rectángulo valor medio - que es el mismo como el área bajo la curva - iguales largo veces ancho, o base veces altura, ¿derecho?
Esta altura es el valor promedio de la función en el intervalo en cuestión.
He aquí un ejemplo. ¿Cuál es la velocidad media de un coche entre t = 9 segundos y t = 16 segundos en cuya velocidad pies per second está dada por la función,
De acuerdo con la definición de valor medio, esta velocidad media está dada por
Determinar el área bajo la curva entre 9 y 16.
Esta zona, por cierto, es la distancia total recorrida de 9 a 16 segundos. ¿Ve usted por qué? Considere el rectángulo valor medio para este problema. Su altura es de una velocidad (debido a que los valores de la función, o alturas, son las velocidades) y su base es una cantidad de tiempo, por lo que su área es velocidad veces hora que es igual distancia. Por otra parte, recuerda que la derivada de la posición es la velocidad. Así, la primitiva de la velocidad - lo que acabas de hacer en este paso - es la posición, y el cambio de posición de 9 a 16 segundos da la distancia total recorrida.
Dividir esta área, distancia total, por el intervalo de tiempo desde 9 a 16, a saber, 7.
# 8776- 105,7 pies por segundo
Tiene más sentido pensar en estos problemas en términos de división: zona es igual a base veces altura, por lo que la altura del valor rectángulo media es igual a su área dividido por su base.
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