¿Cómo encontrar el área entre dos curvas
Para encontrar el área entre dos curvas, lo que necesita para llegar a una expresión para un rectángulo estrecho que se encuentra en una curva y sube a otro.
de X = 0 a X = 1:
Para obtener la altura del rectángulo de representación en la figura, restar el y-coordenada de su fondo de la y-coordenada de su parte superior - que es
Su base es el infinitesimal dx. Por lo tanto, debido a zona es igual a altura veces base,
Ahora que acaba de sumar las áreas de todos los rectángulos de 0 a 1 mediante la integración:
Ahora, para hacer las cosas un poco más retorcido, en el siguiente problema de las curvas se cruzan (ver la siguiente figura). Cuando esto sucede, usted tiene que dividir el total de área sombreada en regiones separadas antes de integrar. Pruebe esto:
de X = 0 a X = 2.
Determine donde las curvas se cruzan.
Cruzan en (1, 1) - lo que un asombroso casualidad! Así que tienes dos regiones separadas - una de 0 a 1 y otro 1-2.
Calcule el área de la región a la izquierda.
Calcule el área de la región a la derecha.
Sume las áreas de las dos regiones para conseguir la superficie total.
# 8776- 3.11 unidades cuadradas
Tenga en cuenta que la altura de un rectángulo representativo es siempre su cima menos su fondo, independientemente de si estos números son positivos o negativos. Por ejemplo, un rectángulo que va desde 20 hasta 30 tiene una altura de 30 - 20, o 10 un rectángulo que va desde -3 hasta 8 tiene una altura de 8 - (-3), o de 11 y un rectángulo que va desde -15 hasta -10 tiene una altura de -10 - (-15), o 5.
Si usted piensa acerca de este método top-menos-abajo para calcular la altura de un rectángulo, ahora se puede ver - suponiendo que no ya verlo - ¿por qué la integral definida de una función que cuenta el área por debajo de la X-eje negativo. Por ejemplo, considere la siguiente figura.
¿Cuál es la zona de sombra? Sugerencia: no es
Si desea que la superficie total de la región sombreada que se muestra en la figura, hay que dividir la región sombreada en dos piezas separadas como lo hizo en el último problema.
Para la primera pieza, de 0 a pi, un rectángulo representante tiene una altura igual a la función en sí, y = Sen (X), Ya que su parte superior se encuentra en la función y su parte inferior está en cero - y, por supuesto, nada menos cero es en sí misma. De modo que el área de esta primera pieza está dada por lo común integral definida
la parte superior de un rectángulo representante está en cero - recordar que el X-eje es la línea y = 0 - y su parte inferior está en y = Sen (X), Por lo que su altura (dado, por supuesto, por la parte inferior, menos la parte superior) es 0 - sin (X), O simplemente -sen (X). Por lo tanto, para obtener el área de esta segunda pieza, a calcular la integral definida de la negativo de la función,
Porque esto negativo integrante le da la ordinaria, positivo área de la pieza por debajo de la X-eje, el positivo integral definida
da una negativo zona. Es por eso que si usted calcula la integral definida
durante todo el período, la pieza debajo de la X-eje cuenta como un área negativa, y la respuesta que da el red de la zona superior de la X-eje menos el área por debajo del eje - en lugar de la zona de sombra totales. Claro como el barro?
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