Cómo aproximar área con la regla trapezoidal

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Con la regla trapezoidal, en lugar de aproximar el área mediante el uso de rectángulos (como lo hace con la izquierda, derecha, y los métodos de rectángulo del punto medio), su área aproximada con - ¿puedes adivinar? - Trapezoides.

Debido a la forma trapecios abrazan la curva, te dan una mejor estimación de área que cualquiera de los rectángulos izquierdo o derecho. Y resulta que una aproximación trapezoidal es el promedio del rectángulo izquierda y aproximaciones rectángulo de la derecha. ¿Puedes ver por qué? (Sugerencia: El área de cada trapecio es el promedio de las áreas de los dos rectángulos correspondientes en el sumas rectángulo izquierdo y derecho.)

La siguiente figura muestra tres trapecios elaborados bajo la función X2 + 1.

imagen0.jpg

Desde la mirada de esta figura, se podría esperar una aproximación trapezoidal sea mejor que una estimación rectángulo punto medio, pero de hecho, como regla general, sumas punto medio está a punto dos veces mejor que las estimaciones trapezoidales.

Si ya has trabajado a cabo las aproximaciones rectángulo izquierdo y derecho para una función determinada y un cierto número de rectángulos, sólo puede promediar ellos para obtener la estimación trapezoidal correspondiente (por este problema, ya sabes la respuesta que vamos a conseguir es (8 + 17) / 2 = 12,5). Si no es así, aquí está la fórmula:

La regla del trapezoide:

image1.jpg

Para la función en la figura anterior con tres trapecios, aquí está la matemática:

image2.jpg

A pesar de que la definición formal de la integral definida se basa en la suma de un número infinito de rectángulos, es posible que desee pensar en la integración como el límite de la regla trapezoidal en el infinito. Cuanto más te acercas a una curva, la recta se pone. Cuando se utiliza un número cada vez mayor de los trapecios y zoom en donde los trapecios tocan la curva, las copas de los trapecios se acercan cada vez más cerca de la curva. Si te acercas " infinitamente, " la parte superior de la " infinitos " trapezoides se convierten en la curva y, por lo tanto, la suma de sus áreas le da el área bajo la curva exacta. Esta es una buena manera de pensar acerca de por qué la integración produce el área exacta - y tiene sentido conceptual - pero no es en realidad hace de esta manera.



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