Cómo calcular la longitud de arco con la integración
Cuando se utiliza la integración para calcular la longitud del arco, lo que está haciendo (tipo de) está dividiendo una longitud de curva en secciones infinitesimalmente pequeñas, calculando la longitud de cada sección pequeña, y luego sumar todas las pequeñas longitudes. La siguiente figura muestra cómo cada sección de una curva puede aproximarse por la hipotenusa de un triángulo rectángulo pequeño.
Se puede imaginar que a medida que te acercas más y más en una curva, que divide la curva en más y más secciones, las secciones minuto consiguen más recto y más recto y las hipotenusas de los triángulos rectángulos mejores y mejor se aproximan a la curva. Es por eso que - cuando se toma este proceso de suma de partes cada vez más pequeñas hasta el límite - se obtiene la longitud exacta de la curva.
Por lo tanto, todo lo que tienes que hacer es añadir todos los hipotenusas lo largo de la curva entre los puntos de salida y llegada. Las longitudes de las piernas de cada triángulo infinitesimal son dx y dy, y por lo tanto la longitud de la hipotenusa - propuesta por el Teorema de Pitágoras - es
Para sumar todos los hipotenusas de la a b a lo largo de la curva, que acaba de integrar:
Pero primero, tienes que modificar esta un poco para producir la fórmula para la longitud del arco.
La longitud del arco a lo largo de una curva, y = F(X), de la a b, viene dado por la siguiente integral:
La expresión dentro de esta integral es simplemente la longitud de una hipotenusa representativo.
Probar esta: ¿Cuál es la longitud a lo largo
de X = 1 a X 5 =?
Tome la derivada de su función.
Conecte esto en la fórmula e integrar.
(Vea cómo funciona esto? Es la conjetura y verificación técnica de la integración con la regla de potencia inversa. El 9.4 es la cantidad tweak que necesita debido al coeficiente de 4.9.)
Ahora bien, si alguna vez se encuentra en un camino con la forma de
y roto de su odómetro, usted puede calcular la longitud exacta de la unidad. Sus amigos estarán muy impresionados - o muy preocupados.
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