Encontrar el área de una superficie de revolución
Lo bueno de hallar el área de una superficie de revolución es que no hay una fórmula que puede utilizar. Memorizarlo y ya está a medio camino hecho.
Para encontrar el área de una superficie de revolución entre la y b, utilizar la siguiente fórmula:
Esta fórmula es largo y complicado, pero tiene más sentido cuando pasas un minuto pensando en ello. La integral se hace de dos piezas:
La fórmula longitud de arco, que mide la longitud a lo largo de la superficie
La fórmula para la circunferencia de un círculo, que mide la longitud alrededor de la superficie
Así multiplicando estas dos piezas juntas es similar a la multiplicación de longitud y anchura para encontrar el área de un rectángulo. En efecto, la fórmula permite medir la superficie como un número infinito de pequeños rectángulos.
Cuando usted está midiendo la superficie de revolución de una función F(X) alrededor de X-eje, sustituto r = F(X) En la fórmula:
Por ejemplo, suponga que desea para encontrar el área de la revolución que se muestra en esta figura.
Para resolver este problema, primero en cuenta que para
Así que configurar el problema de la siguiente manera:
Para empezar, simplificar el problema un poco:
Puede resolver este problema utilizando la siguiente sustitución de variables:
Ahora sustituir u para 1+ 9X4 y
para X3 dx en la ecuación:
Observe que cambia los límites de integración: Cuando X = 0, u = 1. Y cuando X = 1, u = 10.
Ahora usted puede realizar la integración:
Por último, evaluar la integral definida:
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