¿Cómo encontrar el volumen de un sólido entre dos superficies de revolución
Si desea encontrar el volumen de un sólido que se encuentra entre dos superficies distintas de la revolución, puede utilizar el método de carne máquina de cortar para hacer esto. los Método de carne máquina de cortar funciona mejor con los sólidos que tienen secciones transversales similares. Este es el plan:
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido en términos de X.
Utilice esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen del sólido.
Evaluar esta integral.
El truco es encontrar una manera de describir la zona en forma de anillo de una sección transversal como la diferencia entre dos integrales: un integrante que describe toda la forma menos otro que describe el agujero.
Por ejemplo, supongamos que usted desea encontrar el volumen del sólido que se muestra aquí.
Este aspecto sólidos algo así como un tazón volvió a su lado. El borde exterior es el sólido de revolución alrededor del X-eje para la función de
El borde interior es el sólido de revolución alrededor del X-eje para la función de
Aquí está la manera de resolver este problema:
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido.
Es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de
y restar el área de un círculo con un radio de
Utilice esta expresión para construir una integral definida que representa el volumen del sólido.
Los límites de integración son 0 y 4:
Resuelve la integral:
Ahora evaluar esta expresión:
Aquí hay otro problema: Encontrar el volumen del sólido que se muestra aquí.
Este sólido caídas entre la superficie de revolución y = Ln X y la superficie de revolución
limitada hacia abajo por y = 0 y por encima de por y = 1.
La sección transversal de este sólido se muestra a la derecha; lado de la figura: un círculo con un agujero en el centro.
Nótese, sin embargo, que esta sección transversal es perpendicular a la y-eje. Para utilizar el método de carne máquina de cortar, la sección transversal debe ser perpendicular a la X-eje. Modificar el problema utilizando inversas:
El problema resultante se muestra en esta figura.
Ahora usted puede utilizar el método de carne máquina de cortar para resolver el problema:
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido.
Es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de eX y restar el área de un círculo con un radio de
Esta es la geometría justa. Recuerde que el área de un círculo es # 960-r2:
Utilice esta expresión para construir una integral definida que representa el volumen del sólido.
Los límites de integración son 0 y 1:
Evaluar la integral:
Por lo tanto el volumen de este sólido es de aproximadamente 9.179 unidades cúbicas.
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