Cómo utilizar el método Shell para medir el volumen de un sólido
los método de shell permite medir el volumen de un sólido mediante la medición del volumen de muchas superficies concéntricas de volumen, llamado " conchas ". Aunque el método de shell funciona sólo para sólidos con secciones transversales circulares, es ideal para sólidos de revolución alrededor del y-eje, porque usted no tiene que utilizar inversas de funciones.
Así es como funciona:
Encuentra una expresión que representa el área de una concha aleatoria del sólido en términos de X.
Utilice esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen del sólido.
Evaluar esta integral.
Usted puede usar una lata de sopa - o cualquier otra lata que tiene una etiqueta de papel en él - como ayuda visual útil para darle una idea de cómo funciona el método de shell. Para empezar, vaya a la despensa y conseguir una lata de sopa.
Suponga que su lata de sopa es de tamaño industrial, con un radio de 3 pulgadas y una altura de 8 pulgadas. Puede utilizar la fórmula para un cilindro de averiguar el volumen de la siguiente manera:
V = LAb # 183- h = 32# 960- # 183- 8 = 72 # 960;
También puede utilizar el método de la cáscara, que se muestra aquí.
Para entender el método de cáscara, cortar etiqueta de papel de la lata en posición vertical, y retire con cuidado de la lata, como se muestra en la figura. (Mientras estás en ello, tome un momento para leer la etiqueta para que no te queda " sopa de misterio ").
Observe que la etiqueta no es más que un rectángulo. Su lado más corto es de longitud igual a la altura de la lata (8 pulgadas) y su lado más largo es igual a la circunferencia (2# 960- # 183- 3 pulgadas = 6# 960- pulgadas). De modo que el área de este rectángulo es 48# 960- pulgadas cuadradas.
Ahora aquí está el paso crucial: Imagina que toda la lata se compone de un número infinito de etiquetas envueltos concéntricamente alrededor de la otra, todo el camino hasta su núcleo. El área de cada uno de estos rectángulos es:
LA = 2# 960- X 183- # 8 = 16# 960- X
La variable X en este caso es cualquier radio posible, de 0 (el radio del círculo en el centro mismo de la lata) a 3 (el radio del círculo en el borde exterior). He aquí cómo se utiliza el método de shell, paso a paso, para encontrar el volumen de la lata:
Encuentra una expresión que representa el área de una concha aleatoria de la lata (en términos de X):
LA = 2# 960- X 183- # 8 = 16# 960- X
Utilice esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen de la lata.
Recuerde que con el método de concha, que está sumando todas las conchas del centro (donde el radio es 0) hasta el borde exterior (donde el radio es 3). Así que utilice estos números como los límites de integración:
Evaluar esta integral:
Ahora evaluar esta expresión:
= 8# 960- (3)2 - 0 = 72# 960-
El método shell verifica que el volumen de la lata es 72# 960- pulgadas cúbicas.
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