¿Cómo medir el volumen de un objeto al convertirlo en su lado

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A veces, si se desea medir el volumen de un objeto, es necesario convertirla en su lado de modo que usted puede utilizar el método de carne máquina de cortar. Este método funciona mejor con los sólidos que tienen secciones transversales similares.

Este es el plan:

  1. Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido en términos de X.

  2. Utilice esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen del sólido.

  3. Evaluar esta integral.

    Usando inversos para obtener un problema listo para el método de carne máquina de cortar.
    Usando inversos para obtener un problema listo para el método de carne máquina de cortar.

Por ejemplo, supongamos que desea medir el volumen del sólido que se muestra aquí. La base de este sólido (gris claro) es limitado en sus lados por la función y = X4 Entre los X-eje en la parte inferior y y = 2 en la parte superior. La cifra es de 3 unidades de altura, de tal manera que la sección transversal cuando se mire paralelo con el X-eje es una serie de triángulos isósceles, cada una con una altura de 3 y una base que es la anchura a través de la función de y = X4.

La buena noticia es que este sólido tiene secciones transversales que son todas triángulos semejantes, por lo que el método de la máquina de cortar carne va a funcionar. Por desgracia, ya que el problema se encuentra en la actualidad, usted tendría que hacer sus rebanadas perpendiculares a la y-eje. Sin embargo, para utilizar el método de carne máquina de cortar, debe hacer sus rebanadas perpendiculares a la X-eje.

Para resolver el problema, primero tiene que voltear el sólido a la X-eje, como se muestra en el lado derecho de la figura. La forma más sencilla de hacerlo es utilizar la inversa de la función y = X4. Para encontrar la inversa, interruptor X y y en la ecuación y resuelve para y:

image1.jpg

Tenga en cuenta que la ecuación resultante

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en este caso no es una función de X porque una sola X-valor puede producir más de un y-valor. Sin embargo, puede utilizar esta ecuación en conjunto con el método de la máquina de cortar carne para encontrar el volumen que usted está buscando.

  1. Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido.

    La sección transversal es un triángulo isósceles con una altura de 3 y una base de

    image3.jpg

    a fin de utilizar la fórmula para el área de un triángulo:

    image4.jpg

  2. Utilice esta expresión para construir una integral definida que representa el volumen del sólido.

    image5.jpg

  3. Resuelve la integral.

    image6.jpg

    Ahora evaluar esta expresión:

    image7.jpg


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