¿Cómo encontrar el área de una superficie de revolución
Una superficie de revolución es una superficie en tres dimensiones con secciones transversales circulares, como un florero o una campana o una botella de vino. Para estos problemas, se divide la superficie en bandas circulares estrechos, calcular el área superficial de una banda representativa, y luego simplemente suman las áreas de todas las bandas para obtener la superficie total. La siguiente figura muestra una forma tal con una banda representativa.
¿Cuál es la superficie de una banda representativa? Bueno, si se corta la banda y desenrolla, se obtiene una especie de largo, estrecho rectángulo cuya área, por supuesto, es largo veces ancho.
Superficie de Revolución: Una superficie generado al girar una función, y = F (X), Alrededor de un eje tiene un área de superficie - entre la y b - dado por la siguiente integral:
Por cierto, en la explicación anterior, puede que se pregunte por qué el ancho de la banda rectangular es
Es porque el poco ancho de banda está inclinada en lugar de horizontal (en cuyo caso sería sólo dx). El hecho de que está inclinado hace que funcione como la hipotenusa de un triángulo rectángulo pequeño. La expresión de fantasía de futuro para el ancho de la banda proviene de la elaboración de la longitud de esta hipotenusa con el Teorema de Pitágoras. Eso debería hacer que se sienta mucho mejor!
Si el eje de revolución es el X-eje, r será igual F (X) - Como se muestra en la figura anterior. Si el eje de revolución alguna otra línea, como y = 5, que es un poco más complicado - algo que esperamos con interés.
Ahora trata de un problema: ¿Cuál es el área de superficie - entre X = 1 y X = 2 - de la superficie generada al girar
acerca de X-eje?
Tome la derivada de su función.
Ahora usted puede terminar el problema con sólo enchufar todo en la fórmula, pero debes hacerlo paso a paso para reforzar la idea de que cada vez que se integran, de anotar un poco representativa de algo - que es el integrando - a continuación, se suman todos los pequeños trozos de integración.
Calcule el área de superficie de una banda estrecha representativa.
Sume las áreas de todas las bandas de 1 a 2 mediante la integración.
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