¿Cómo funciona la función de zona

La función de zona es un poco extraño. Prepárate. Digamos que tienes una función de edad, F(t). Imagínese que en algún t-valor, lo llaman s, se dibuja una línea vertical fija. (Tenga en cuenta que debido a que esta línea es fijo, s es una constante, no una variable.) Confirmar la siguiente figura.

A continuación, agregue una línea vertical móvil (la línea de puntos en la figura) en la t-valor X. Se comienza con la línea de puntos en s ("s" es para comenzando punto) y, a continuación, arrastre hacia la derecha. A medida que arrastra la línea, usted barre un área más grande y más grande bajo la curva entre s y X. Esta zona es una función de X, la posición de la línea móvil.

En símbolos, escribes

los dt es un pequeño incremento a lo largo del t-eje - en realidad una infinitesimalmente pequeño incremento.

He aquí un ejemplo sencillo para asegurarse de que usted tiene una manija en cómo funciona la función de zona. Por cierto, no te sientas mal si usted encuentra este muy difícil de entender - que tienes mucha compañía. Digamos que tienes la función simple F(t) = 10 - que es una línea horizontal en y = 10. Si barrer el área a partir de las s = 3, se obtiene la siguiente función de zona:

Usted puede ver que el área barrida 3-4 es 10 porque, arrastrando la línea de 3 a 4, se barre un rectángulo con un ancho de 1 y una altura de 10, que tiene una superficie de 1 Tiempos 10, o 10. Consulte la siguiente figura.

Ahora, imagina que arrastra la línea a través de una tasa de un unidad por segundo. Usted comienza en X = 3, y se golpea 4 a 1 segundo, 5 segundos a los 2, 6 a los 3 segundos, y así sucesivamente. ¿Cuánta área está barriendo a cabo por segundo? Diez unidades cuadrados por segundo ya que cada segundo se barre a cabo otro rectángulo de 1 por 10. Aviso - esto es enorme - que, debido a la anchura de cada rectángulo que barren es 1, el área de cada rectángulo - que está dada por altura veces ancho - es el mismo que su altura porque los tiempos cualquier cosa 1 es igual a sí mismo. Usted verá por qué esto es muy importante en un minuto.

Bueno, estás sentado? Has alcanzado uno de los grandes Ah, ja! momentos en la historia de las matemáticas. Recordemos que un derivado de una tasa. Por lo tanto, debido a que la velocidad a la que la función de área anterior crece es 10 unidades cuadrados por segundo, se puede decir su derivada es igual a 10. Por lo tanto, se puede escribir;

Ahora aquí está la cosa fundamental: Observe que esta tasa o derivado de la 10 es la misma que la altura de la función original F(t) = 10, porque a medida que avanza a través de 1 unidad, usted barre un rectángulo que es 1 por 10, que tiene una superficie de 10, la altura de la función.

Esto funciona para cualquier función, no sólo de las líneas horizontales. La siguiente figura muestra la función g(t) Y su función de área

que barre la zona a partir de las s = 2.

Puedes ver eso

es igual a más o menos 20 debido a que el área barrida entre 2 y 3 tiene una anchura de 1 y la parte superior curvada del " rectángulo " tiene una altura media de aproximadamente 20. Por lo tanto, durante este intervalo, la tasa de crecimiento de

se trata de 20 unidades cuadrados por segundo. Entre 3 y 4, se barre a cabo cerca de 15 unidades cuadradas de área porque eso es más o menos la altura media de g(t) Entre 15 y 4. Por lo tanto, durante el segundo número dos - el intervalo desde X = 3 a X = 4 - la tasa de crecimiento de

se trata de 15.

los tarifa del área que está siendo barrido bajo una curva mediante una función de área en un determinado X-valor es igual a la altura de la curva en ese X-valor.

Aunque es un poco flojo - en la discusión de la figura anterior - diciendo cosas como " o menos " esto y " media " que, no preocupe, cuando se hacen las cuentas, todo se resuelve. Lo importante es centrarse en que el índice de área que está siendo barrido bajo una curva es la misma que la altura de la curva.