Cómo utilizar la diferenciación para calcular el volumen máximo de una caja
Uno de los usos más prácticos de la diferenciación es encontrar el valor máximo o mínimo de una función en el mundo real. En el siguiente ejemplo, se calcula el volumen máximo de una caja que no tiene la parte superior y que es ser fabricado a partir de una pieza de 30 pulgadas por 30 pulgadas de cartón cortando y doblándolo como se muestra en la figura.
Qué dimensiones producen una caja que tiene el volumen máximo? Matemáticas menudo parece abstracta y poco práctico, pero aquí hay un problema práctico honesto a la bondad. Si un fabricante puede vender cajas más grandes para obtener más dinero, y él o ella está haciendo un millón de cajas, es mejor creer que él o ella va a querer la respuesta exacta a esta pregunta:
Expresar la cosa que quiere maximizada, el volumen, en función de lo desconocido, la altura de la caja (que es la misma que la longitud del corte).
Determine el dominio de su función.
La altura no puede ser negativo o superior a 15 pulgadas (el cartón es de sólo 30 pulgadas de ancho, por lo que la mitad de eso es la altura máxima). Los valores tanto, sensibles para h son 0 # 8804- h # 8804- 15.
Encuentra los números críticos de V(h) En el intervalo abierto (0, 15) mediante el establecimiento de su derivada igual a cero y la solución. Y no se olvide de comprobar los números de donde no está definido del derivado.
Debido a que 15 no se encuentra en el intervalo abierto (0, 15), que no califica como un número crítico. Y debido a que este derivado se define para todos los valores de entrada, no hay números críticos adicionales. Por lo tanto, 5 es el único número crítico.
Evaluar la función en el número crítico, 5, y en los extremos del intervalo, 0 y 15, para localizar máximo de la función.
los extremum (cavar esa palabra elegante para máximo o mínimo) Que usted está buscando no suele ocurrir en un punto final, pero puede - por lo que no dejará de evaluar la función en dos puntos extremos del intervalo.
Tienes tu respuesta: una altura de 5 pulgadas produce la caja con el máximo volumen (2000 pulgadas cúbicas). Debido a la longitud y anchura igual 30-2h, una altura de 5 pulgadas da una longitud y anchura de 30 - 2 183- # 5, o 20 pulgadas. Por lo tanto, las dimensiones de la caja deseada son 5 pulgadas por 20 pulgadas por 20 pulgadas.
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