Cómo utilizar la diferenciación para calcular la superficie máxima de un corral

Encontrar el valor máximo o mínimo de una función en el mundo real es uno de los usos más prácticos de la diferenciación. Por ejemplo, puede que tenga que encontrar el área máxima de un corral, dada una cierta longitud de la esgrima.

Digamos que un ranchero puede darse el lujo de 300 pies de cercado para construir un corral que se divide en dos rectángulos iguales. Qué dimensiones maximizará el área del corral? El ranchero quiere dar a sus animales tanto espacio como sea posible mediante el uso de la longitud de la esgrima que puede permitirse. Como todos los hombres de negocios, que quiere la mayoría de la explosión para su buck:

1. Expresar lo que desea maximizado, la zona, en función de las dos incógnitas, X y y.

   

   LA = l # 183- w

   = (2X) (y)

   Debido a que el área es una función de dos variables, Paso 1 tiene dos sub-etapas adicionales.

2. Use la información dada a relacionar las dos incógnitas entre sí.

   La esgrima es utilizado por siete secciones, por lo tanto

   300 = X + X + X + X + y + y + y

   300 = 4X + 3y

3. Resuelva esta ecuación para y, y enchufe el resultado en el y en la ecuación del Paso 1. Esto le da lo que necesita - una función de una variable.

   

4. Determinar el dominio de la función.

   No se puede tener una longitud negativo de cerca, por lo que X no puede ser negativo, y el más X puede ser es 300 dividido por 4 o 75. De este modo, el dominio es 0 # 8804- X # 8804- 75.

5. Encuentra los números críticos de LA(X) En el intervalo abierto (0, 75) mediante el establecimiento de su derivada igual a cero y la solución.

   

   Porque LA# 8242- se define para todos X-valores, 37.5 es el único número crítico.

6. Evaluar la función en el número crítico, 37.5, y en los extremos del intervalo, 0 y 75.

   

   Tenga en cuenta que la evaluación de una función en los puntos finales de un intervalo es un paso normal en la búsqueda de un valor extremo absoluto en el intervalo. Sin embargo, podría haber saltado este paso aquí habías notado que LA(X) Es una parábola al revés y que, por tanto, su punto más alto debe ser más alto que sea punto final.

   El valor máximo en el intervalo es de 3.750, y por lo tanto, una X-valor de 37,5 pies maximiza el área del corral. La longitud es de 2X, o 75 pies. El ancho es y, que es igual

   

   La conexión de 37.5 le da

   

   o 50 pies. Así que el ganadero va a construir una de 75 pies por 50 pies de corral con una superficie de 3750 pies cuadrados.

   Esta es una situación del mundo real donde vale la pena hacer los cálculos. ¿Había el ranchero no resuelto este problema, él probablemente habría construido una, corral más pequeño inferior. Mucha gente sabe que un cuadrado frecuencia maximiza el área (este sería el caso, por ejemplo, en un problema de corral similares donde no hay valla divisoria en medio del corral). Por lo tanto, el ganadero podría haber pensado que debía construir una plaza de corral o, quizás un corral rectangular formado por dos cuadrados. Estos dos corrales tendrían áreas totales de, respectivamente, 3600 pies cuadrados y 3673 pies cuadrados. Por supuesto, el área perdida no es sustancial en cualquiera de los casos, pero ¿por qué calambre sus animales incluso un poco sin razón? Y, en otros problemas, no encontrar una máxima exacta o mínimo puede tener mucho más consecuencias significativas.