Combinaciones algebraicas

Las combinaciones son otra manera de contar las cosas. Esta vez, seleccionar algunos elementos de un grupo más grande, pero no me importa qué orden vienen en. Por ejemplo, si selecciona 6 números de la lotería de una lista de 54, cuyo número fue elegido primer o segundo o tercer doesn ' importa - sólo que usted los eligió.

Usted puede encontrar el número de combinaciones o formas de elegir r elementos de un conjunto que contiene n elementos con la fórmula

Las dos anotaciones diferentes y _nC_r se utilizan comúnmente para indicar que usted está encontrando el número de combinaciones. Note que esta fórmula se parece mucho a la fórmula de permutaciones. El factor adicional en el denominador hace que el número total menor.

Ejemplos de preguntas

1. Encuentra el número de formas (combinaciones) de la selección de 6 números de la lotería de 54 opciones.

   25827165. (A $ 1 por entrada, no es de extrañar sus posibilidades son tan escasas.) Aquí está la matemática:

   

   Cada uno de los factores en el denominador se divide en un factor en el numerador, por lo que el resultado es siempre un número entero.

2. En un restaurante, el plato especialidad incluye una selección de dos de las cinco entradas y tres de las diez partes. ¿Cuántos platos diferentes son posibles?

   1200. Usar C(5, 2) para elegir los platos y C(10, 3) para elegir los lados. Luego multiplique los dos resultados juntos:

   

   Usted encontrará que 1.200 platos diferentes son posibles.

Preguntas de práctica

1. Usted puede invitar a 9 de sus 20 mejores amigos a su fiesta de cumpleaños. ¿Cuántas combinaciones diferentes de amigos son posibles?

2. Una lotería tiene usted elige 8 números de 60. ¿Cuántas diferentes combinaciones ganadoras son posibles?

3. Usted está seleccionando un comité de ocho. Cuatro son a elegir entre un grupo de 10 hombres y 4 son para ser elegido de un grupo de 20 mujeres. ¿Cuántos comités diferentes puedes tener?

4. Vas a probar 5 tazas de frutas del cargamento total de 400. Si esos 5 tazas están bien, entonces se puede asumir que todo el cargamento está bien. ¿De cuántas maneras se puede elegir 5 tazas de frutas de cada 400?

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:

1. La respuesta es 167.960.

   Esta es una combinación de 20 artículos en los que usted elija 9, C(20, 9). Resolución,

   

   Usted puede reducir la fracción de muchas maneras - usted tiene muchas combinaciones de los factores. Pero en cualquier caso, debe terminar con todos los 1s en el denominador y números para multiplicarse en el numerador.

2. La respuesta es 2558620845.

   Sería un milagro si alguien alguna vez ganó esta lotería! Este problema implica una combinación de 60 números, la elección de 8. Resolución,

   

3. La respuesta es 1017450.

   Multiplicar C(10, 4) veces C(20, 4). Usted simplemente multiplicando el número de maneras de elegir cuatro hombres veces el número de maneras de elegir cuatro mujeres:

4. La respuesta es 83218600080.

   Resolver C(400, 5):

   

   Algunas calculadoras científicas tienen problemas con un número tan grande y pueden entrar en la notación científica para una respuesta. Usted puede ver algo como 8,32186 x 10¹⁰.