Cómo utilizar la función lagrangiano en economía de la empresa

Situaciones de negocios se complican aún más por las limitaciones, que pueden ser contabilizadas en economía de la empresa utilizando el La función de Lagrange

. Tal vez la empresa ha firmado un contrato para producir 1.000 unidades del bien al día, o el negocio tiene ciertos insumos, como el tamaño de la fábrica, que no se pueden cambiar. Las restricciones limitan las opciones de la firma. Su objetivo es optimizar una función sujeta a las limitaciones o restricciones.

los La función de Lagrange es una técnica que combina la función que se está optimizado con funciones que describen la restricción o restricciones en una sola ecuación. Resolución de la función de Lagrange le permite optimizar la variable que elija, con sujeción a las limitaciones que no puedes cambiar.

Cómo identificar su objetivo (función)

los función objetiva es la función que se está optimizando. La variable dependiente en la función objetivo representa su meta - la variable que desea optimizar. Ejemplos de funciones objetivo incluyen la función de beneficio para maximizar los beneficios y la función de utilidad para los consumidores para maximizar la satisfacción (utilidad).

Funciones de restricción

LA función de restricción representa una limitación en su comportamiento. La variable dependiente en la restricción representa la limitación. Ejemplos de funciones de restricciones incluyen el número de unidades debe producir para satisfacer un contrato y el presupuesto disponible a un consumidor.

Cómo construir la función lagrangiana

La técnica para la construcción de una función de Lagrange es combinar la función objetivo y todas las restricciones de una manera que satisfaga dos condiciones. En primer lugar, la optimización de la función lagrangiana debe dar lugar a la optimización de la función objetivo. En segundo lugar, todas las restricciones deben ser satisfechas. Para satisfacer estas condiciones, utilice los siguientes pasos para especificar la función de Lagrange.

Asumir u es la variable que se está optimizado y que es una función de las variables X y z. Por Consiguiente,

Además, hay dos limitaciones, c₁ y c₂, que también son funciones de X y z;

Los pasos siguientes establecen la función de Lagrange:

1. A especificar las limitaciones de modo que son iguales a cero.

   

2. Multiplique las limitaciones de los factores lambda un solo y lambda dos, # 235-₁ y # 235-₂, respectivamente (más sobre esto en un momento).

   

3. Añadir las limitaciones con el término lambda a la función objetivo con el fin de formar la función lagrangiana # 194- '.

   

En esta memoria descriptiva de la función de Lagrange, las variables están representados por X, z, # 955- ₁, y # 955- ₂. Tomando las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a # 955- ₁ y # 955- ₂ y el establecimiento de ellos igual a cero asegurarse de que sus limitaciones son satisfechos, teniendo las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a X y z y poniéndolos a cero optimizar su función objetivo.

El multiplicador de Lagrange

Economía de la empresa tiene un montón de atajos útiles. Uno de esos accesos directos es el # 955- utilizado en la función de Lagrange. En la función de Lagrange, las restricciones se multiplican por la variable # 955-, que se llama el Multiplicador de Lagrange.

Esta variable es importante porque # 955- mide el cambio que se produce en la variable está optimizando dan un cambio de una unidad en la restricción. Si usted está tratando de reducir al mínimo el costo de producir una cantidad dada de la producción, # 955- le indica la cantidad total de cambios de costos si usted produce una unidad más de producción. Esto le permite evaluar rápidamente las relaciones entre las limitaciones y la variable que se está optimizada.

Supongamos que su empresa tiene un contrato que le obliga a producir 1.000 unidades de un buen día. La empresa utiliza mano de obra y capital para producir el bien. La cantidad de trabajo empleada, L, se mide en horas, y el salario es de $ 10 por hora. La cantidad de capital empleado, K, se mide en horas-máquina, y el precio por hora de la máquina es de $ 40. Por lo tanto, el costo total de su empresa, TC, es igual a

La función de producción describe la relación entre las cantidades de trabajo y capital utilizado y la cantidad del bien producido

Por contrato, q debe ser igual a 1,000. Usted debe determinar la cantidad de mano de obra y capital para utilizar con el fin de minimizar el costo de producción de las 1,000 unidades del bien.

1. Crear una función de Lagrange. Reconocer que la variable que está tratando de optimizar es el costo total - en concreto, que está tratando de minimizar el costo total. Por lo tanto, su función objetivo es 10L + 40K. En segundo lugar, su limitación es que 1.000 unidades del bien tienen que ser producido a partir de la función de producción. Así que su restricción es

   1000 - 20L^0.5K^0.5 = 0.

   Su función de Lagrange es

   

2. Tome la derivada parcial de la función de Lagrange con respecto al trabajo y el capital - L y K - y los puso igual a cero. Estas ecuaciones asegurar que la función objetivo se está optimizando - en este caso, el coste total se reduce al mínimo.

   

3. Tomar la derivada parcial de la función lagrangiana con respecto a # 235- y la puso igual a cero. Esta derivada parcial asegura que la restricción - producción de 1.000 unidades del bien todos los días - se satisface.

   

4. Resuelve los tres derivadas parciales de forma simultánea para las variables L, K, y # 235- para minimizar el costo total de producir 1.000 unidades del bien.

   Reescribiendo la derivada parcial de # 914- 'con respecto a L permite resolver para # 955-.

   

   Sustituyendo la ecuación anterior para # 955- en la derivada parcial de # 914- 'con respecto a K rendimientos

   

5. Sustituto 4K para L en la restricción (la derivada parcial de L con respecto a # 235-) para producir

   

   Por lo tanto, su empresa debe utilizar 25 horas de máquina del capital diaria.

   Debido a que usted determinó anterior L = 4K

   

   Por último, se puede resolver # 955;

   

   Por lo tanto, la combinación de 100 horas de trabajo y 25 horas-máquina del capital minimizar el costo total de producir 1.000 unidades del bien todos los días. En adición, # 955- equivale 2. Recuerde que lambda indica el cambio que se produce en la función objetivo dado un cambio de una unidad en la restricción. Por lo tanto, si su empresa quiere producir una unidad más de las buenas, que aumenta su costo total por $ 2.