Cómo expandir un binomio que contiene números complejos
El tipo más complicado de la expansión binomial implica el número complejo yo, porque no sólo está tratando con el teorema del binomio, pero se trata de números imaginarios también. Al subir los números complejos a una potencia, tenga en cuenta que yo1 = I, yo2 = -1, yo3 = -yo, y yo4 = 1. Si se encuentra con poderes superiores, este patrón se repite: yo5 = yo, yo6 = -1, yo7 = -yo, etcétera. Debido poderes del número imaginario yo se puede simplificar, su respuesta final a la expansión no debe incluir poderes de yo. En su lugar, utilice la información dada aquí para simplificar los poderes de yo y luego combine los términos semejantes.
Por ejemplo, para ampliar (1 + 2yo)8, sigue estos pasos:
Escriba la expansión binomial utilizando el teorema del binomio, sustituyendo en las variables cuando sea necesario.
En caso de haber perdido, aquí está el teorema del binomio:
Usando el teorema, (2 + 1yo)8 expande para
Encuentra los coeficientes binomiales.
Para ello, se utiliza la fórmula para la expansión binomial, que está escrito en la forma siguiente:
Usted puede recordar el término factorial de sus clases de matemáticas anteriores. Si no, aquí es un recordatorio: n!, cuyo texto es el "n factorial", se define como
Utilizando la fórmula de combinación que da la siguiente:
Reemplaza todo
con los coeficientes de la Etapa 2.
1 (1)8(2yo)0 + 8 (1)7(2yo)1 + 28 (1)6(2yo)2 + 56 (1)5(2yo)3 + 70 (1)4(2yo)4 + 56 (1)3(2yo)5 + 28 (1)2(2yo)6 + 8 (1)1(2yo)7 + 1 (1)0(2yo)8
Levante los monomios a los poderes especificados para cada término.
1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4I2) + 56 (1) (8i3) + 70 (1) (16i4) + 56 (1) (32i5) + 28 ( 1) (64i6) + 8 (1) (128i7) + 1 (1) (256i8)
Simplifique cualquier yo's que se puede.
1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4) (- 1) + 56 (1) (8) (- i) + 70 (1) (16) (1) + 56 (1) (32) (i) + 28 (1) (64) (- 1) + 8 (1) (128) (- i) + 1 (1) (256) (1)
Combine los términos semejantes y simplificar.
1 + 16i - 112 - 448i + 1120 + 1,792i - 1792 - 1,024i + 256
= -527 + 336i
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