La creación de fracciones parciales cuando se ha repetido factores cuadráticos
Su primer paso en cualquier problema que involucra fracciones parciales es reconocer cuyo caso usted está tratando con lo que pueda solucionar el problema. Uno de los casos donde se puede utilizar fracciones parciales es con factores cuadráticos repetidos.
Esta es tu peor pesadilla cuando se trata de fracciones parciales, porque el denominador incluye factores cuadráticos repetidos.
Para cada factor cuadrático cuadrado en el denominador, agregue de dos fracciones parciales en la forma siguiente:
Para cada factor cuadrático en el denominador que está elevado a la tercera potencia, añadir de tres fracciones parciales en la forma siguiente:
En términos generales, cuando un factor cuadrático se eleva a la nésima potencia, añadir n fracciones parciales. Por ejemplo:
Este denominador tiene un factor lineal no repetido (X - 8), un factor cuadrático no repetitivo (X2 + X + 1), y una expresión cuadrática que está al cuadrado (X2 + 3). He aquí cómo configurar las fracciones parciales:
En este ejemplo se añade una fracción parcial para cada uno de los factores no repetitivo y dos fracciones parciales para el factor de al cuadrado.
Cuando usted comienza con un factor de segundo grado de la forma (hacha2 + C), Usando fracciones parciales se traduce en las siguientes dos integrales:
Integrar el primero mediante la sustitución de variables u = hacha2 + C así que eso du = 2hacha dx y
Esta sustitución da como resultado la siguiente integral:
Aquí hay unos ejemplos:
Para evaluar la segunda integral, utilice la siguiente fórmula:
La mayoría de los profesores de matemáticas tienen al menos una pizca de misericordia en sus corazones, para que no tienden a darle problemas que incluyen este caso más difícil. Cuando usted comienza con un factor de segundo grado de la forma (hacha2 + bx + C), Usando fracciones parciales se traduce en la siguiente integral:
Bueno, eso es demasiado muchas cartas y no casi suficientes números. He aquí un ejemplo:
Se trata de la integrante más peludo alguna vez va a ver en el otro extremo de una fracción parcial. Para evaluarlo, desea utilizar la sustitución de variables u = X2 + 6X + 13 de manera que du = (2X + 6) dx. Si el numerador eran 2X + 6, estarías en gran forma. Así que hay que ajustar el numerador un poco. Primero se multiplica por 2 y dividir toda la integral por 2:
Porque multiplicado toda la integral por 1, se ha producido ningún cambio neto. Ahora agregue 6 y -6 al numerador:
Esta vez, se agrega 0 a la integral, que no cambia su valor. En este punto, se puede dividir la integral en dos:
En este punto, puede utilizar la sustitución de variables para cambiar el primer integrante de la siguiente manera:
Para resolver la segunda integral, completa el cuadrado en el denominador: Divida la b plazo (6) por 2 y de la plaza, y luego representar el C plazo (13) como la suma de esto y todo lo que queda:
Ahora dividir el denominador en dos cuadrados:
Para evaluar esta integral, utilice la misma fórmula de la sección anterior:
Así que aquí está la respuesta final para la segunda integral:
Por lo tanto, reconstruir la respuesta completa de la siguiente manera:
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