La creación de fracciones parciales cuando se tiene factores lineales distintos
Su primer paso en cualquier problema que involucra fracciones parciales es reconocer cuyo caso usted está tratando con lo que pueda solucionar el problema. El caso más simple en el que las fracciones parciales son útiles es cuando el denominador es el producto de distinto factores lineales - es decir, los factores que son lineales no repetitivo.
Por ejemplo, puede cambiar esto:
a esto:
Tenga en cuenta que para cada factor lineal distinta en el denominador, es necesario agregar una fracción parcial de la siguiente forma:
Por ejemplo, suponga que desea integrar la siguiente expresión racional:
El denominador es el producto de tres factores lineales distintos - X, (X + 2), y (X - 5) - por lo que es igual a la suma de tres fracciones con estos factores como denominadores:
El número de factores lineales distintos en el denominador de la expresión original determina el número de fracciones parciales. En este ejemplo, la presencia de tres factores en el denominador de la expresión original produce tres fracciones parciales.
Tienes dos maneras de encontrar las incógnitas en una suma de fracciones parciales. La manera fácil y rápida es mediante el uso de las raíces de los polinomios. Desafortunadamente, este método no siempre encontrar todas las incógnitas en un problema, a pesar de que a menudo se encuentra a algunos de ellos. La segunda forma es la creación de un sistema de ecuaciones.
Cuando una suma de fracciones parciales tiene factores lineales distintos, puede utilizar las raíces de estos factores lineales para encontrar los valores de incógnitas:
Para encontrar los valores de las incógnitas LA, B, y C, primero obtener un denominador común en el lado derecho de esta ecuación (el mismo denominador que está en el lado izquierdo):
Ahora multiplique ambos lados por este denominador:
1 = LA(X + 2) (X - 5) + Bx(X - 5) + Cx(X + 2)
Para encontrar los valores de LA, B, y C, sustituir las raíces de los tres factores (0, -2, y 5):
Al conectar estos valores en la ecuación original que da:
Esta expresión es equivalente a lo que usted comenzó con, pero es mucho más fácil de integrar. Para hacerlo, utilice la regla de la suma para dividirla en tres integrales, la regla múltiplo constante para mover coeficientes fraccionarios fuera cada sustitución integral y variable para hacer la integración. Aquí está la respuesta para que pueda probarlo:
Esta respuesta utiliza K Más bien que C para representar la constante de integración para evitar la confusión, debido a que ya usaste C en las fracciones parciales anteriores.
Cuando usted comienza con un factor lineal distinta, usando fracciones parciales te deja con una integral de la forma siguiente:
Integrar con la sustitución de variables u = hacha + b así que eso du = a dx y
Esta sustitución da como resultado la siguiente integral:
Aquí están algunos ejemplos:
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