Comparando convergentes y divergentes secuencias
Cada secuencia infinita es ya sea convergente o divergente. LA convergente secuencia tiene un límite - es decir, que se aproxima a un número real. LA divergente secuencia no tiene un límite.
He aquí un ejemplo de una secuencia convergente:
Esta secuencia se aproxima a 0, por lo que:
Por lo tanto, esta secuencia converge a 0.
Aquí hay otra secuencia convergente:
Esta vez, la secuencia se aproxima a 8 desde arriba y abajo, por lo que:
En muchos casos, sin embargo, una secuencia diverge - es decir, que no puede acercarse a cualquier número real. La divergencia puede suceder de dos maneras. El tipo más obvio de divergencia se produce cuando una secuencia explota hasta el infinito o infinito negativo - es decir, se vuelve cada vez más lejos del 0 con cada término. Aquí están algunos ejemplos:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7,. . .
ln 1, ln 2, ln 3, 4 ln, ln 5,. . .
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,. . .
En cada uno de estos casos, la secuencia se aproxima a cualquiera
por lo que el límite de la sucesión no existe. Por lo tanto, la secuencia es divergente.
Un segundo tipo de divergencia se produce cuando una secuencia oscila entre dos o más valores. Por ejemplo:
0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 7,. . .
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1,. . .
En estos casos, la secuencia rebota alrededor indefinidamente, sin establecerse en un valor. Una vez más, no existe el límite de la sucesión, por lo que la secuencia es divergente.
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