Cómo cambiar entre coordenadas polares y cartesianas

Puede utilizar ambas coordenadas polares y cartesianas (x, y) coordenadas (también conocidas como coordenadas rectangulares) en cualquier momento para describir la misma ubicación en el plano de coordenadas. A veces, usted tendrá un tiempo más fácil el uso de una forma, y ​​por esta razón es importante saber cómo cambiar entre los dos. Coordenadas cartesianas son mucho más adecuados para los gráficos de líneas rectas o curvas simples. Las coordenadas polares que pueden producir una variedad de bonitos gráficos, muy complejas que no se puede trazar con coordenadas cartesianas.

Al cambiar hacia y desde las coordenadas polares, su trabajo es a menudo más fácil si usted tiene todas sus medidas de ángulos en radianes. Usted puede hacer el cambio utilizando el factor de conversión

Usted puede elegir, sin embargo, dejar sus medidas de ángulos en grados, lo cual está bien, siempre y cuando la calculadora está en el modo correcto.

Examine el punto en esta figura, que ilustra un punto trazado en ambos (x, y) Y

coordenadas, lo que permite ver la relación entre ellos.

¿Qué es exactamente la relación geométrica entre r,

X, y y? Mira cómo están etiquetados en el gráfico - todas las partes de un mismo triángulo!

El uso de razón; trigonometría triángulo, usted sabe los siguientes hechos:

Estas ecuaciones simplifican en dos expresiones muy importantes para X y y en términos de r y

Además, puede utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la derecha para encontrar el radio del triángulo si se les da X y y:

X² + y² = r²

Una ecuación final le permite encontrar el ángulo

deriva de la tangente del ángulo:

Así que si a resolver esta ecuación para

se obtiene la siguiente expresión:

Con respecto a la ecuación final, tenga en cuenta que la calculadora siempre devuelve un valor de tangente inversa que pone

en el primer o cuarto cuadrante. Usted tiene que mirar a su X- y y-coordina y decidir si esa colocación es en realidad correcta para el problema en cuestión. La calculadora no busca posibilidades tangentes en el segundo y tercer cuadrantes, pero eso no significa que usted no tenga que hacerlo!

En conjunto, las cuatro ecuaciones para r,

X, y y le permiten cambiar (x, y) Coordina en polar

coordina y vuelta a empezar en cualquier momento. Por ejemplo, para cambiar la coordenada polar

a una coordenada rectangular, siga estos pasos:

1. Encuentra el X valor.

   

   Use el círculo unitario para conseguir

   

   Lo que significa que

   

2. Encuentra el y valor.

   

   Lo que significa que y = 1.

3. Expresar los valores de los pasos 1 y 2 como punto de coordenadas.

   Usted encontrará que

   

   es la respuesta como un punto.

Tiempo para un ejemplo a la inversa. Teniendo en cuenta el punto (-4, -4), encontrar la coordenada polar equivalente:

1. Trazar la (x, y) El punto primero.

   
   Un (x, y) Coordinar cambiado a una coordenada polar.

   Esta figura muestra la ubicación del punto en el cuadrante III.

2. Encuentra el r valor.

   Para este paso, se utiliza el teorema de Pitágoras para coordenadas polares: X² + y² = r². Conecte lo que sabe (X = -4 Y y = -4) Para obtener (-4)² + (-4)² = r², o

   

3. Encuentra el valor de

   

   Utilice la relación tangente para las coordenadas polares:

   

   El ángulo de referencia para este valor es

   

   Usted sabe de la figura que el punto está en el tercer cuadrante, por lo

   

4. Expresar los valores de los Pasos 2 y 3 como una coordenada polar.

   Puedes decir eso