Aplicando cuadráticas a situaciones de la vida real

Ecuaciones cuadráticas se prestan para el modelado de situaciones que suceden en la vida real, como el ascenso y la caída de las ganancias de la venta de bienes, la disminución y el aumento de la cantidad de tiempo que se tarda en correr una milla en base a su edad, y así sucesivamente.

La parte maravillosa de tener algo que puede ser modelado por una cuadrática es que usted puede fácilmente resolver la ecuación cuando se establece igual a cero y predecir los patrones en los valores de la función.

El vértice y X-intercepta son especialmente útiles. Estas intersecciones te dicen que los números cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo, por lo que saben, por ejemplo, donde se encuentra el terreno en un problema de física o cuando desea empezar a hacer un beneficio o la pérdida de dinero en un negocio.

El vértice te dice donde se puede encontrar el máximo absoluto o costo mínimo, el beneficio, la velocidad, altura, tiempo, o lo que sea que estés modelando.

Ejemplo de pregunta

1. En 1972, usted podría comprar un Mercury Comet por alrededor de $ 3.200. Los coches se deprecian en valor con bastante rapidez, pero un Comet 1972 en perfectas condiciones pueden valer mucho dinero a un coleccionista hoy.

   Que el valor de uno de estos cometas ser modelado por la función cuadrática v(t) = 18,75t² - 450t + 3200, donde t es el número de años desde 1972. Cuando es el valor de la función igual a 0 (lo que es una X-intercepto), lo que era menor valor del coche, y cuál era su valor en el 2010?

   El valor del coche nunca se redujo a 0, el valor más bajo fue de $ 500, y el coche valía $ 13.175 en el año 2010. En este modelo, la y-intercepto representa el valor inicial. Cuando t = 0, la función es v(0) = 3.200, que corresponde al precio de compra.

   Encuentra el X-intercepta por resolver 18.75t² -450t + 3200 = 0. Utilizando la fórmula cuadrática (se podría tratar de factoring, pero es un poco de un desafío y, como resultado, la ecuación no tiene el factor), se obtiene -37.500 bajo el radical en la fórmula. No se puede obtener una solución de número real, por lo que el gráfico no tiene X-intercepción. El valor de la cometa no consigue nunca a 0.

   Encontrar el valor más bajo determinando el vértice. Utilizando la fórmula,

   

   Este coordinar te dice que 12 años desde el comienzo (1984 - añaden 12 a 1972), el valor de la cometa está en su punto más bajo. Reemplace la t's en la fórmula con 12, y se obtiene v(12) = 18,75 (12)² - 450 (12) + 3200 = 500.

   El cometa fue un valor de $ 500 en 1984. Para encontrar el valor del coche en 2010, deja t = 38, debido a que el año 2010 es de 38 años después de 1972. El valor del coche en 2010 es v(38) = 18,75 (38)² - 450 (38) + 3.200 = $ 13.175.

Preguntas de práctica

1. La altura de una bola t segundos después de que se echa en el aire desde la parte superior de un edificio puede ser modelado por h(t) = -16t² + 48t + 64, donde h(t) Es la altura en pies. ¿Qué tan alto es el edificio, ¿qué altura tiene el aumento pelota antes de comenzar a caer hacia abajo, y después de cuántos segundos qué la pelota pegó en el suelo?

2. La función de beneficios contando Georgio la cantidad de dinero que le reporte a la producción y venta X sombrillas especialidad viene dada por P(X) = -0,00405X² + 8.15X - 100.

   ¿Cuál es la pérdida de Georgio si no vende ninguna de las sombrillas que produce, ¿cuántos paraguas qué tienen que vender al punto de equilibrio, y cuántos tiene él de vender para ganar el mayor beneficio posible?

3. Viruta corrió a través de un laberinto en menos de un minuto la primera vez que lo intentaba. Sus tiempos mejoraron por un tiempo con cada nuevo intento, pero luego sus tiempos empeoraron (que tomó más tiempo) debido a la fatiga.

   La cantidad de tiempo chip llevó a correr por el laberinto en el laº intento puede ser modelado por T(la) = 0,5la² - 9la + 48.5. ¿Cuánto tiempo se tarda en ejecutar la viruta del laberinto primera vez, y lo que era su mejor momento?

4. Un paso subterráneo carretera es parabólica en forma. Si la curva del paso inferior puede ser modelado por h(X) = 50 - 0.02X², dónde X y h(X) Se encuentran en los pies, entonces qué tan alto es el punto más alto del paso subterráneo, y el ancho es?

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:

1. El edificio es de 64 pies de altura, la pelota culmina a 100 pies, y se tarda 4 segundos en llegar al suelo.

   El balón es lanzado desde la parte superior del edificio, por lo que desea la altura de la pelota cuando t = 0. Este número es la inicial t valor (el y-intercepción). Cuando t = 0, h = 64, por lo que el edificio es de 64 pies de alto.

   La pelota está en su punto máximo en el vértice de la parábola. Cálculo de la t valor, se obtiene que el vértice donde se produce t = 1,5 segundos. Sustituyendo t = 1,5 en la fórmula, se obtiene que h = 100 pies.

   El balón pegó en el suelo cuando h = 0. Solución -16t² + 48t + 64 = 0, se toma para conseguir -16 (t - 4) (t + 1) = 0. La solución de t = 4 le indica cuando el balón toque el suelo.

   los t = -1 Representa ir hacia atrás en el tiempo, o en este caso, en que habría comenzado la pelota si se hubiera lanzado desde el suelo - no la parte superior de un edificio.

2. Georgio pierde $ 100 (gana - $ 100) si vende 0, necesita vender 13 al punto de equilibrio, y puede maximizar las ganancias si vende 1.006 sombrillas.

   Si Georgio vende sin paraguas, luego X = 0, y se obtiene un beneficio negativo (pérdida) de $ 100. El punto de equilibrio se produce cuando los cambios en beneficio de negativo a positivo, a una X-intercepción. Utilizando la fórmula cuadrática, se obtiene dos intersecciones: al X = 2000 y X es de aproximadamente 12,35.

   La primera (más pequeño) X-intersección es donde la función cambia de negativo a positivo. El segundo es donde el beneficio se convierte en una pérdida de nuevo (demasiados paraguas, el exceso de horas extras?). Así, 13 sombrillas rendirían un beneficio positivo - que había un punto de equilibrio (tener beneficio cero).

   El beneficio máximo se produce en el vértice. Usando la fórmula para el X-valor del vértice, se obtiene que X es de aproximadamente 1,006.17. Sustituyendo 1006 en la fórmula, se obtiene 4,000.1542- luego sustituir 1007 en la fórmula, se obtiene 4,000.15155.

   Usted ve que Georgio consigue un poco más de beneficio con 1.006 sombrillas, pero esa fracción de centavo no significa mucho. Todavía haría alrededor de $ 4.000.

3. Viruta tomó 40 segundos primera vez- su mejor tiempo fue de 8 segundos.

   Debido a que la variable la representa el número del intento, encontrar T(1) para el tiempo del primer intento. T(1) = 40 segundos. El mejor (mínima) el tiempo es en el vértice. Resolviendo para la la valor (que es el número de la tentativa),

   

   Tenía el mejor tiempo en el noveno intento, y T(9) = 8.

4. El paso subterráneo es de 50 pies de alto y 100 pies de ancho.

   

   El punto más alto se produce en el vértice:

   

   los X-de coordenadas del vértice es 0, por lo que el vértice es también el y-interceptar, en (0, 50). Los dos X-intercepta representan los puntos extremos de la anchura del paso elevado. Ajuste de 50 a 0,02X² igual a 0, a resolver por X y obtener X = 50, -50. Estos dos puntos son 100 unidades de diferencia - la anchura del paso subterráneo.