Desenterrar raíces polinómicas con factoring
Al resolver las raíces (X
-intercepciones de un polinomio), que en general tienen que factorizar la regla de la función y la puso igual a 0. La factorización puede ser simple y obvia o complicado y oscuro. Siempre esperas por el simple y obvio, traslado a un reto y factible, y recurrir a la " grandes armas " cuando los factores son más oscuros.Antes de ir a esas longitudes, sin embargo, usted tiene que agotar otros métodos. Los otros métodos de factoring incluyen
Dividiendo un máximo común divisor (MCD)
Factoring un binomio cuadrado perfecto
Factoring por agrupación
Factoring trinomios cuadrática similares
Ejemplos de preguntas
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio X7 - 82X5 + 81X3 = 0.
X= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Esta ecuación técnicamente tiene siete soluciones, pero el 0 es una raíz múltiple, por lo que terminan con sólo cinco números diferentes. Para encontrar estas soluciones, es primer factor X3 de cada término para obtener X3(X4 - 82X2 + 81) =
Los dos binomios son a la vez la diferencia de cuadrados perfectos, para que pueda tenerlas en cuenta en la diferencia y la suma de las raíces de los términos. Usted obtiene X3(X - 9) (X + 9) (X - 1) (X + 1) = 0. Ajuste cada uno de los factores iguales a 0, a encontrar las raíces.
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio X3 - 16X2 + 100X - 1600 = 0.
X = 16. El polinomio no tiene un factor común en los cuatro términos, pero se puede agrupar los términos para los pares de factores comunes. Usted obtiene X2(X - 16) + 100 (X - 16) = 0, que factores en (X - 16)(X2 + 100) = 0. El segundo binomial es la suma de los cuadrados, que no factor.
La configuración de estos dos factores iguales a 0, se obtiene X = 16 desde el primer factor, pero el segundo factor no produce ninguna respuesta reales. A pesar de que comenzó con un polinomio de tercer grado, que puede producir hasta tres soluciones, este polinomio tiene una sola raíz real. La solución es sólo X = 16.
Preguntas de práctica
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio 3X4 - 12X3 - 27X2 + 108X = 0.
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio X5 - 16X3 + X2 - 16 = 0.
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio X6 + 9X3 + 8 = 0.
Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio 36X5 - 13X3 + X = 0.
A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:
La respuesta es X= 0, 3, -3, 4.
En primer lugar el factor 3X de cada término para obtener 3X(X3 - 4X2 - 9X + 36) = 0. A continuación, puede factorizar los términos entre paréntesis mediante la agrupación: 3X[X2(X - 4) -9 (X - 4)] = 3X[(X - 4) (X2 - 9)] = 3X[(X - 4) (X - 3) (X + 3)] = 0. Set cada factor igual a 0 para resolver para las raíces.
La respuesta es X= 4, -4, -1.
Los factores del polinomio por agrupación: X3(X2 - 16) + 1 (X2 - 16) = (X2 - 16)(X3 + 1) = (X - 4) (X + 4) (X + 1) (X2 - X + 1) = 0. Los tres primeros factores que dan las raíces reales. El último factor es una cuadrática que no tiene solución real cuando lo establece igual a 0.
Usted realmente no tiene un factor X3 + 1 en el problema 6 para encontrar la raíz. Si usted acaba de configurar X3 + 1 igual a 0, se obtiene X3 = -1, Y tomando la raíz cúbica de ambos lados le da la solución -1. La forma factorizada simplemente te muestra cómo este problema podría haber tenido cinco raíces, pero no todos son números reales en este caso.
La respuesta es X= -2, -1.
El polinomio es cuadrática similares. Es factores en (X3 + 8) (X3 + 1) = 0. Ajuste cada factor igual a 0, se obtiene las dos raíces.
La respuesta es
En primer lugar, el factor X de cada término para obtener X(36X4 - 13X2 + 1) = 0. Los factores trinomio cuadrático-como, que le da X(9X2 - 1) (4X2 - 1) = 0. Cada binomial es la diferencia de los cuadrados, por lo tanto el factor binomios. Para la factorización final, usted termina con X(3X - 1) (3X + 1) (2X - 1) (2X + 1) = 0. Ajuste cada factor igual a 0 le da las cinco soluciones diferentes.
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