¿Cómo encontrar raíces imaginarias usando el teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra puede ayudarle a encontrar las raíces imaginarias. Raíces imaginarias aparecerá en una ecuación de segundo grado cuando el discriminante de la ecuación de segundo grado - la parte bajo el signo de la raíz cuadrada (b² - 4ac) - Es negativo. Si este valor es negativo, no se puede realmente tomar la raíz cuadrada, y las respuestas no son reales. En otras palabras, no hay Solución de bienes, por lo tanto, el gráfico no cruzará la X-eje.

Utilizando la fórmula cuadrática siempre te da dos soluciones, porque el signo más / menos significa que estés tanto sumar y restar y obtener dos respuestas completamente diferentes. Cuando el número bajo el signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática es negativo, las respuestas se denominan complejos conjugados. Uno es r + si y el otro es r - si. Estos números tienen tanto real (el r) E imaginario (la si) partes.

El sistema numérico complejo se compone de todos los números r + SI dónde r y s son números reales. Observe que cuando s = 0, simplemente tienes los números reales. Por lo tanto los números reales son un subconjunto del sistema de número complejo. El teorema fundamental del álgebra dice que cada función polinómica tiene al menos una raíz en el sistema de números complejos.

El mayor grado de un polinomio le da el mayor número posible de los distintos complejo raíces para polinomio. Entre este hecho y el imperio de los signos de Descartes, se puede tener una idea de cuántas raíces imaginaria un polinomio tiene.

Así es como la regla de los signos de Descartes le puede dar el número de posibles raíces reales, tanto positivos como negativos:

• Raíces reales positivas. Para el número de raíces reales positivas, mira el polinomio, escrito en orden descendente, y contar cuántas veces los cambios de signo de término a término. Este valor representa el número máximo de raíces positivas en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio F(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, se ven dos cambios de signo (no se olvide de incluir el signo del primer término!) - A partir del primer plazo (+2x⁴) A la segunda (-9x³) Y desde el tercer término (-21x²) Para el cuarto mandato (88x). Eso significa que esta ecuación puede tener hasta dos soluciones positivas.

  Regla de los signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual a los cambios de signo de F(X), O es menor que la de un número par (así sigues restando 2 hasta obtener 1 o 0). Por lo tanto, la anterior F(X) Puede tener 2 o 0 raíces positivas.

• Raíces reales negativas. Para el número de raíces reales negativas, encontrar F(-X) Y contar de nuevo. Debido a que los números negativos elevados a potencias pares son números positivos y negativos elevados a potencias impares son negativos, este cambio sólo afecta a los términos con potencias impares. Este paso es el mismo que el cambio de cada término con un título extraño para su signo opuesto y contando los cambios de signo nuevo, lo que le da el número máximo de raíces negativas. El ejemplo ecuación se convierte en F(-X) = 2X⁴ + 9X³ - 21X² - 88X + 48, que cambia de signo dos veces. No puede haber, como máximo, dos raíces negativas. Sin embargo, similar a la regla de raíces positivas, el número de raíces negativas es igual a los cambios en la señal para F(-X), O debe ser menor que la de un número par. Por lo tanto, este ejemplo puede tener 2 o 0 raíces negativas.

Empareja cada posible número de raíces reales positivas con cada número posible de raíces- real negativo el número restante de las raíces de cada situación representa el número de raíces imaginarias.

Por ejemplo, el polinomio F(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48 tiene un grado de 4, con dos o cero raíces reales positivas, y dos o cero raíces reales negativas. Con esta información, se puede emparejar las situaciones posibles:

• Dos positivo y dos raíces reales negativas, con cero raíces imaginarias

• Dos positivo y cero raíces reales negativas, con dos raíces imaginarias

• Cero positivo y dos raíces reales negativas, con dos raíces imaginarias

• Cero positivo y cero raíces reales negativas, con cuatro raíces imaginarias

La siguiente tabla hace que la información sea más fácil de la foto:

Los números complejos se escriben en forma r + si y tienen tanto una real y una parte imaginaria, que es por eso que cada polinomio tiene al menos una raíz en el sistema de números complejos. Los números reales e imaginarios están ambos incluidos en el sistema de números complejos. Los números reales no tienen parte imaginaria, y los números imaginarios puros no tienen parte real. Por ejemplo, si X = 7 es una raíz del polinomio, esta raíz se considera tanto real y complejo, ya que puede ser reescrito como X = 7 + 0yo (la parte imaginaria es 0).

El teorema fundamental del álgebra da el número total de raíces complejas (por ejemplo, hay siete) - regla de los signos de Descartes le dice cuántas posibles existen raíces reales y cuántos de ellos son positivos y negativos (por ejemplo hay, como máximo, dos raíces positivas pero sólo una raíz negativa). Ahora, suponga que todos ellos haya encontrado: X = 1, X = 7, y X = -2. Estas raíces son reales, pero también son complejas, ya que todos se pueden reescribir.

Las dos primeras columnas de la tabla de encontrar las raíces reales y los clasifican como positivos o negativos. La tercera columna es en realidad encontrar, en concreto, los números no reales: los números complejos con distintos de cero partes imaginarias.