Cómo graficar polinomios cuando las raíces son números imaginarios - una visión general

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En pre-cálculo y en el cálculo, ciertas funciones polinómicas tener raíces no reales además de raíces reales (y algunas de las funciones más complicadas tener todas raíces imaginarias). Cuando usted debe encontrar tanto, empezar por la búsqueda de las raíces reales, utilizando técnicas como la división sintética. Si tienes suerte, uno se queda con un polinomio de segundo grado deprimida para resolver eso es imposible de resolver mediante respuestas numéricas reales. ¡Sin miedo! Sólo tienes que usar la fórmula cuadrática, a través del cual usted va a terminar con un número negativo bajo el signo de la raíz cuadrada. Por lo tanto, usted expresa la respuesta como un número complejo.

Por ejemplo, el polinomio g(X) = X4 + X3 - 3X2 + 7X - 6 tiene raíces no reales. Siga estos pasos básicos para encontrar todas las raíces de este (o cualquier) polinomio:

  1. Clasificar las raíces reales como positivo y negativo utilizando la regla de los signos de Descartes.

    Tres cambios de signo en el g(X) Revela la función que podría tener tres o una raíz real positiva. Un cambio de signo en el g(-X) Función revela que tiene una raíz real negativo.

  2. Encuentra cuántas raíces son posiblemente imaginario usando el teorema fundamental del álgebra.

    El teorema revela que, en este caso, existen hasta cuatro raíces imaginarias. La combinación de este hecho con la regla de los signos de Descartes le da varias posibilidades:

    • Una raíz real positiva y uno raíz negativa real significa que dos raíces no son reales.

    • Tres raíces positivas reales y una raíz real negativo significa que todas las raíces son reales.

    • Enumerar las posibles raíces racionales, utilizando el teorema de la raíz racional.

      Las posibles raíces racionales incluyen

      image0.jpg

    • Determinar las raíces racionales (si los hay), utilizando división sintética.

      Utilizando las reglas de división sintética, se encuentra que X = 1 es una raíz y que X = -3 Es otra raíz. Estas raíces son los únicos verdaderos.

    • Utilice la fórmula cuadrática para resolver el polinomio deprimido.

      Después de haber encontrado todas las raíces reales del polinomio, dividir el polinomio original de x-1 y el polinomio resultante por x + 3 para obtener el polinomio deprimido X2 - X + 2. Debido a que esta expresión es cuadrática, puede utilizar la fórmula cuadrática para resolver en las dos últimas raíces. En este caso, se obtiene

      image1.jpg

    • Graficar los resultados.

      Representación gráfica del polinomio g(X) = X4 + X3 - 3X2 + 7X - 6.

      La prueba que conduce coeficiente revela que el gráfico apunta hacia arriba en ambas direcciones. Los intervalos incluyen los siguientes:

      image3.jpg

      La figura anterior muestra la gráfica de esta función.



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