Descubriendo ecuaciones cónicas (accidentalmente)
Tres problemas famosos confundidos matemáticos durante siglos: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Estos problemas son bastante accesible hoy en día con la informática y la tecnología moderna. Pero los antiguos sólo tenían un compás y una regla para trabajar, por lo que estos problemas eran prácticamente irresoluble.
Al tratar de resolver el problema de la duplicación del cubo, los matemáticos descubrieron ecuaciones cónicas. Esta situación es algo así como el descubrimiento accidental de la penicilina, donde Fleming investigaba la gripe y encontró algo de moho en su placa de Petri. Al igual que los matemáticos de la antigüedad, Fleming no descartó su descubrimiento, y el resto es historia.
Pero la historia comienza con la duplicación del cubo. Imagen de un cubo de 1-x-1-x-1-pulgada. Su volumen es 1 x 1 x 1 = 1 pulgada cúbica. Si se duplica la longitud de los lados, tiene 2 x 2 x 2 = 8 pulgadas cúbicas, pero eso no se duplica el volumen del cubo original, que es lo que querían los antiguos. Querían alguna la X la X la = 2- que querían que el volumen que se duplicó.
Este problema parece simple! Sólo tiene
Pero esta raíz cúbica no se podría construir con regla y compás. Era un problema sin solución, pero trabajando en ello resultó en el descubrimiento accidental de las cónicas! ¿Cómo surgió eso?
Hipócrates de Quíos se le atribuye la construcción de algunas proporciones medias para tratar de resolver el problema de la duplicación. A partir de las proporciones medias, se derivaron las ecuaciones de las cónicas. LA proporción media, por supuesto, es una proporción en la que los medios son iguales.
Por ejemplo,
es una proporción en la que los medios son iguales. Qué Hipócrates hizo fue escribir las proporciones
y dejar que los ratios en cada fracción sea igual a r, la relación que quería resolver el problema de la duplicación. Así que si cada relación es igual r, después
Pero mira a las proporciones de nuevo:
Si usted toma las dos primeras relaciones,
y cruzar multiplican, usted tiene X2 = 2sí, la ecuación de una parábola. Tome las dos últimas relaciones,
y cruzar multiplican. Tienes hacha = y2 otra parábola. Las primeras y últimas proporciones
tener un producto cruzado de 2la2 = xy, la hipérbola. Una consecuencia no intencional que tiene la matemática impactadas por siglos!
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