Curvas Crossing: encontrar las intersecciones de parábolas y círculos
Cuando una parábola y el círculo se cruzan, las posibilidades de su reunión son muchas y variadas. Las dos curvas se cruzan en un máximo de cuatro puntos diferentes, o tal vez tres, o simplemente dos o incluso sólo un punto.
Mantenga sus opciones abiertas y estar alerta para el mayor número posible de soluciones comunes (derecha - hasta cuatro). Y, sí, el sistema puede no tener solución. Las curvas pueden perderse el uno al otro por completo.
Para estos problemas, por lo general a su vez a la sustitución. Sin embargo, usted no tiene que configurar una de las ecuaciones igual a X o y por sí mismo. Usted puede resolver una ecuación de 4X o (y - 3)2 o algún otro término que aparece en la otra ecuación. Siempre y cuando las condiciones son iguales, se puede intercambiar un valor para el otro.
Ejemplos de preguntas
Encuentra las soluciones comunes del círculo (X - 2)2 + (y - 2)2 = 4 y la parábola 2y = X2 - 4X + 4.
(0, 2), (2, 0), (4, 2). Vuelva a escribir la ecuación de la parábola como 2y = (X - 2)2. A continuación, reemplace el (X- 2)2 plazo en la primera ecuación con 2y y simplificar: 2y + (y - 2)2 = 4- 2y + y2 - 4y + 4 = 4- y2 - 2y = 0.
Factor los términos de la izquierda para obtener y(y - 2) = 0. Por lo tanto, y = 0 o y = 2. Letting y = 0 en la ecuación de la parábola, se obtiene 2 (0) = X2 - 4X + 4, o = 0 (X - 2)2. Así que cuando y = 0, X = 2.
A continuación, dejar que y = 2 en la ecuación de parábola. Usted obtiene 2 (2) = X2 - 4X + 4- 4 = X2 - 4X + 4- 0 = X2 - 4X. Factoring, 0 = X(X - 4), por lo X = 0 o X = 4. Cuando y = 2, X = 0 o 4.
Encuentra las soluciones comunes de X2 + y2 = 100 y y2 + 6X = 100.
(0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). La solución de la ecuación de segundo y2, usted obtiene y2 = 100 - 6X. Reemplace la y2 en la primera ecuación con su equivalente para obtener X2 + 100 - 6X = 100.
Simplificar y factoring, la ecuación se convierte X2 - 6X = X(X - 6) = 0. Así X = 0 o X = 6. Sustitución X con 0 en la ecuación de la parábola, y2 = 100- y = +/- 10. Sustitución X con 6 en la ecuación de la parábola, y2 + 36 = 100- y2 = 64 y = +/- 8.
Preguntas de práctica
Encuentra las soluciones comunes de X2 + y2 = 25 y X2 + 4y = 25.
Encuentra las soluciones comunes de X2 + y2 = 9 y 5X2 - 6y = 18.
A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:
La respuesta es (5, 0), (-5, 0), (3 4,), (-3, 4).
Resuelve la segunda ecuación para X2 (usted obtiene X2 = 25 - 4y) Y sustituir la X2 en la primera ecuación con su equivalente. La nueva ecuación lee 25-4y + y2 = 25. Simplificando, se obtiene y2 - 4y = 0.
Este factores ecuación en y(y - 4) = 0. Las dos soluciones son y = 0 y y = 4. Vuelva a la segunda ecuación, la ecuación de la parábola, porque tiene sólo un cuadrado plazo (tiene exponentes más bajos, por lo que la elección de esta ecuación le permite evitar soluciones extrañas).
Reemplace la y en esa ecuación con 0 para obtener X2 + 4 (0) = 25- X2 = 25. Esa ecuación tiene dos soluciones: X = 5 o X = -5. Ahora, yendo y reemplazando el y con 4 en la ecuación de la parábola, X2 + 4 (4) = 25- X2 + 16 = 25- X2 = 9.
Esta ecuación también tiene dos soluciones: X = 3 o X = -3. Emparejar el y's y sus respectivas X's, se obtiene las cuatro soluciones diferentes. El círculo y la parábola se cruzan en cuatro puntos distintos.
La respuesta es
(0, -3).
Eliminar la X términos: Multiplicar los términos de la primera ecuación por -5 (que le da -5X2 - 5y2= -45) Y añadir las dos ecuaciones juntos. La ecuación resultante es -5y2 - 6y = -27.
Vuelva a escribir la ecuación, haciéndola igual a 0, y el factor. Usted obtiene 0 = 5y2 + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Utilice la propiedad multiplicación de cero a resolver para las dos soluciones de esta ecuación. Reemplazo de la y en la segunda ecuación de (la ecuación de la parábola) con
usted obtiene
Luego divida ambos lados de la ecuación por 5 y tomar la raíz cuadrada de cada lado:
Para encontrar la otra solución, dejar que el y en la ecuación de la parábola ser igual a -3. Usted obtiene 5X2 - 6 (-3) = 18- 5X2 + 18 = 18 5X2 = 0. Por lo tanto, X = 0. El círculo y la parábola se cruzan o contacto en tres puntos distintos.
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