Cómo calcular un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar desconocida y / o pequeño tamaño de la muestra

Usted puede calcular un intervalo de confianza (IC) para la media o promedio, de una población, incluso si la desviación estándar es desconocida o el tamaño de la muestra es pequeño. Cuando una característica estadística que está siendo medido (tales como ingresos, IQ, precio, talla, cantidad o peso) es numérica, la mayoría de la gente quiere estimar la media (promedio) de valor para la población. Usted calcula la media poblacional,

mediante el uso de una media de la muestra,

más o menos un margen de error. El resultado se denomina una intervalo de confianza para la media poblacional,

En muchas situaciones, usted no sabe

por lo que estiman que con la desviación estándar de la muestra, s- y / o el tamaño de la muestra es pequeño (menos de 30), y no se puede estar seguro de sus datos provienen de una distribución normal. (En este último caso, el teorema del límite central no se puede utilizar.) En cualquier situación, no se puede utilizar un z * -valor de la normal estándar (Z-) La distribución como su valor crítico más- usted tiene que utilizar un valor crítico más grande que eso, porque de no saber qué

es y / o que tiene menos datos.

La fórmula para un intervalo de confianza para una media de la población en este caso es

es la crítica t *-valor de la t-de distribución con n - 1 grados de libertad (donde n es el tamaño de la muestra).

los t * -valores para los niveles de confianza comunes se encuentran utilizando la última fila de las anteriores t-mesa.

los t-distribución tiene una forma similar a la Z-distribución, excepto que es más plano y más disperso. Para valores pequeños de n y un nivel de confianza específico, los valores críticos en la t-distribución son más grandes que en el Z-distribución, por lo que cuando se utilizan los valores críticos de la t-la distribución, el margen de error para su intervalo de confianza será más amplio. Como los valores de n hacen más grandes, la t *-los valores están más cerca de z *-los valores.

Para calcular un IC para la media (promedio) de la población, en estas condiciones, haga lo siguiente:

1. Determinar el nivel de confianza y los grados de libertad y luego encontrar el adecuado t *-valor.

   Consulte la tabla t precedente.

2. Encuentra la media de la muestra

   

   y la desviación estándar de la muestra (s) Para la muestra.

3. Multiplicar t * veces s y dividir que por la raíz cuadrada de n.

   Este cálculo le da el margen de error.

4. Llevar

   

   más o menos el margen de error para obtener el CI.

   El extremo inferior de la IC es

   

   menos el margen de error, mientras que el extremo superior de la CI es

   

   más el margen de error.

Por ejemplo, supongamos que usted trabaja para el Departamento de Recursos Naturales y desea estimar, con un 95% de confianza, la media (promedio) longitud de todos los alevines de lucioperca en una charca criadero de peces. Se toma una muestra aleatoria de 10 alevines y determina que la duración media es de 7,5 pulgadas y la desviación estándar de la muestra es de 2,3 pulgadas.

1. Porque quieres un intervalo de confianza del 95%, a determinar su t *-valor como sigue:

   los t *-valor proviene de una t-distribución con 10 - 1 = 9 grados de libertad. Esta t * -valor se encuentra mirando el t-mesa. Mira en la última fila, donde se encuentran los niveles de confianza, y encontrar el nivel de confianza del 95% - esto marca la columna que usted necesita. Entonces encontró la fila correspondiente a df = 9. Intersect la fila y columna, y te encuentras t * = 2.262. Este es el t * -valor para un intervalo de confianza del 95% para la media con un tamaño de muestra de 10. (Nótese que esto es más grande que el z*-valor, lo que sería 1,96 para el mismo intervalo de confianza).

2. Usted sabe que la duración media es de 7,5 pulgadas, la desviación estándar de la muestra es de 2,3 pulgadas, y el tamaño de la muestra es 10. Este medio

   

3. Multiplicar 2.262 veces 2.3 dividido por la raíz cuadrada de 10. El margen de error es, por lo tanto,

   

4. Su intervalo de confianza del 95% para la longitud media de todos los alevines de lucioperca en esta charca criadero de peces es

   

   (El extremo inferior del intervalo es de 7,5 a 1,645 = 5,86 pulgadas- el extremo superior es de 7,5 + 1,645 = 9,15 pulgadas.)

Observe este intervalo de confianza es más ancha de lo que sería para un gran tamaño de la muestra. Además de tener un valor crítico más grande (t * versus z *), El tamaño de muestra más pequeña aumenta el margen de error, porque n se encuentra en su denominador. Con un tamaño de muestra más pequeño, usted no tiene toda la información que " adivinar " en la media poblacional. De ahí acuerdo con una confianza del 95%, que necesita un intervalo más amplio de lo que hubiera necesitado con una muestra de mayor tamaño con el fin de ser el 95% confía en que la media de la población cae en el intervalo.

Después de calcular un intervalo de confianza, asegúrese de que siempre interpreta con palabras un no-estadístico entendería. Es decir, hablar de los resultados en términos de lo que la persona en el problema es tratar de averiguar - los estadísticos llaman a esto la interpretación de los resultados " en el contexto del problema ". En este ejemplo, usted puede decir: " con 95% de confianza, la duración media de alevines de lucioperca en todo este estanque criadero de peces es de entre 5,86 y 9,15 pulgadas, basado en mis datos de la muestra ". (Siempre asegúrese de incluir las unidades apropiadas.)