Tasas relacionadas: el problema del globo en expansión

Digamos que usted está llenando su piscina y usted sabe cómo el agua rápido está saliendo de su manguera, y desea calcular qué tan rápido el nivel de agua de la piscina está en aumento. Usted conoce uno tasa (qué tan rápido se está vertiendo en el agua), y desea determinar otra velocidad (lo rápido que el nivel de agua está aumentando). Estas tarifas son llamadas tasas relacionados porque uno depende del otro - el más rápido el agua se vierte en el más rápido del nivel del agua subirá. En un típico problema de las tasas correspondientes, el tipo o tipos que te dan son inmutables, pero el precio que tiene que averiguar está cambiando con el tiempo. Usted tiene que determinar esta tasa en un punto determinado en el tiempo.

Por ejemplo, digamos que usted está inflando un globo a una velocidad de 300 pulgadas cúbicas por minuto. Cuando el radio del globo es de 3 pulgadas, qué tan rápido está aumentando el radio?

1. Dibuja un diagrama de etiquetar el diagrama con cualquier inmutable mediciones (no hay ninguno en esta inusualmente sencilla problema) y asegúrese de asignar una variable a nada en el problema de que es cambiar (a menos que, por supuesto, es irrelevante para el problema).

   El radio en la figura se marca con la variable r. El radio necesita una variable ya que, como el globo está siendo volado, el radio es cambiar. En la figura, 3 es de paréntesis, a destacar que el número 3 es no una medida que no cambia. El problema pide a determinar algo cuando el radio es de 3 pulgadas, pero recuerda, el radio está en constante cambio.

   En los problemas de las tasas correspondientes, es importante distinguir entre lo que está cambiando y lo que es no cambiante.

   El volumen del globo también está cambiando, por lo que necesita una variable para el volumen, V. Se puede poner un V en su diagrama para indicar el volumen de cambio, pero no hay realmente ninguna manera fácil de etiquetar parte del globo con una V como se puede mostrar el radio con un r.

2. Lista de todos los tipos dados y la tasa se te pide para determinar como derivados con respecto al tiempo.

   Usted está inflando el globo a 300 cubic pulgadas por minuto. Esa es una tasa de - es un cambio en el volumen (pulgadas cúbicas) por el cambio en el tiempo (minutos). Por lo tanto,

   

   Usted tiene que averiguar qué tan rápido el radio está cambiando, por lo que

   

3. Escriba la fórmula que conecta las variables en el problema, V y r.

   Ésta es la fórmula para el volumen de una esfera:

   

4. Diferenciar su fórmula con respecto al tiempo, t.

   Esto funciona como la diferenciación implícita porque estás diferenciador con respecto a t, pero la fórmula se basa en algo más, a saber, r.

   

5. Sustituye los valores conocidos para la tasa y las variables en la ecuación del paso 4, y luego resolver la cosa se le pedirá que determine.

   

   Asegúrese de diferenciar (Paso 4) antes de conectar la información dada en las incógnitas (paso 5).

   

   Así, el radio está aumentando a un ritmo de aproximadamente 2,65 pulgadas por minuto cuando el radio mide 3 pulgadas. Piensa en todos los globos que ha volado desde su infancia. Ahora que por fin tiene la respuesta a la pregunta que te ha estado molestando durante todos estos años.

   Por cierto, si se conecta en 5 r, en lugar de 3, se obtiene una respuesta de aproximadamente 0,95 pulgadas por minuto. Este hecho debe estar de acuerdo con su experiencia en globo de voladura - cuanto más grande es el globo consigue, más lentamente crece.