Calcular la distancia de un electrón desde el protón de un átomo de hidrógeno
Cuando usted quiere encontrar en un electrón es en un momento dado en un átomo de hidrógeno, lo que en realidad estás haciendo es encontrar en qué medida el electrón es del protón. Usted puede encontrar el valor esperado de r, eso es,
la siguiente expresión representa la probabilidad de que el electrón se encuentre en el elemento espacial d3r:
En coordenadas esféricas,
Así que usted puede escribir
como
La probabilidad de que el electrón está en una cáscara esférica de radio r a r + dr es, por lo tanto
Y por eso
esta ecuación se convierte en la siguiente:
La ecuación anterior es igual a
(Recuerde que el símbolo del asterisco significa el complejo conjugado. Un conjugado complejo voltea el signo que conecta las partes real e imaginaria de un número complejo.)
Armónicos esféricos son normalizados, así que esto solo se hace
Bueno, esa es la probabilidad de que el electrón es el interior de la cáscara esférica de r a r + dr. Así que el valor esperado de r, cual es
cual es
Aquí es donde las cosas se ponen más complejo, ya que Rnl(r) Implica los polinomios de Laguerre. Pero después de un montón de matemáticas, esto es lo que se obtiene:
dónde r0 es el radio de Bohr:
El radio de Bohr se trata de
por lo que el valor esperado de la distancia a la electrónica del protón es
Así, por ejemplo, en el 1s estado
el valor esperado de r es igual a
Y en el 4p estado
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