¿Cómo encontrar las funciones propias de l2 en coordenadas esféricas
Su instructor física cuántica puede pedirle que encontrar las funciones propias de la L2 en coordenadas esféricas. Para ello, se comienza con la función propia del
dado que en coordenadas esféricas, la L2 operador tiene este aspecto:
Eso es todo un operador. Y, dado que
se puede aplicar la L2 operador
que se da la siguiente:
Y por eso
esta ecuación se convierte en
Wow, ¿qué has metido? Cancelación términos y restando la derecha; lado de la izquierda, finalmente, le da esta ecuación diferencial:
Combinando términos y dividiendo por
le da la siguiente:
Vaca santa! ¿No hay alguien que trató de resolver este tipo de ecuación diferencial antes? Sí hay. Esta ecuación es una ecuación diferencial de Legendre, y las soluciones son bien conocidos. (! ¡Menos mal) En general, las soluciones tienen esta forma:
dónde
es el Función de Legendre.
¿Cuáles son las funciones de Legendre? Puedes empezar por separar la m la dependencia, que funciona de esta manera con las funciones de Legendre:
donde Pl(X) Se llama Legendre polinomio y viene dada por la fórmula de Rodrigues:
Usted puede utilizar esta ecuación para derivar los primeros polinomios de Legendre como éste:
etcétera. Eso es lo que la primera pocos Pl (X) Polinomios parecen. Entonces, ¿qué hacen las funciones de Legendre asociadas, Plm (X) ¿parece? También puede calcularlos. Usted puede comenzar con Pl0 (X), dónde m = 0. Esos son fáciles porque Pl0 (X) = Pl (X), Por lo
Además, usted puede encontrar que
Estas ecuaciones que dan una visión de lo que el Plm funciones parecen, lo que significa que está casi terminado. Como se recordará,
está relacionada con el Plm funciones como éste:
Y ahora usted sabe lo que el Plm funciones parecen, pero lo que hacen Clm, las constantes, se parecen? Tan pronto como usted tiene esos, que tendrá las funciones propias completos del momento angular,
Usted puede ir sobre el cálculo de las constantes de Clm la manera que siempre calcular esas constantes de integración en la física cuántica - a normalizar las funciones propias a 1.
que se parece a esto:
(Recuerde que el símbolo del asterisco significa el complejo conjugado. Un conjugado complejo voltea el signo que conecta las partes real e imaginaria de un número complejo.)
Sustituya los siguientes tres cantidades en esta ecuación:
Aparecerá el siguiente:
por lo que este se convierte
Usted puede evaluar la integral a lo siguiente:
En otras palabras:
Lo que significa que
que es la función propia del momento angular en coordenadas esféricas, es
Las funciones dadas por esta ecuación se llaman armónicos esféricos normalizados. Éstos son lo que los primeros armónicos esféricos normalizados parecen:
De hecho, puede utilizar estas relaciones para convertir los armónicos esféricos a coordenadas rectangulares:
Sustituyendo estas ecuaciones en
le da los armónicos esféricos en coordenadas rectangulares:
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