Aplicando la ecuación schr & # 246-dinger en tres dimensiones

En la física cuántica, se puede aplicar el Schr # 246-dinger ecuación cuando se trabaja en los problemas que tienen un potencial central. Estos son problemas donde usted es capaz de separar la función de onda en una parte radial (que depende de la forma del potencial) y una parte angular, que es un armónico esférico.

Potenciales centrales son esféricamente simétricas potenciales, de la clase donde V (r) = V (r). En otras palabras, el potencial es independiente de la naturaleza del vector del radio vector del potencial depende sólo la magnitud del vector r (cual es r), No en el ángulo de r.

El Schr # 246-dinger ecuación tiene este aspecto en tres dimensiones, donde

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es el operador de Laplace:

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Y el operador Laplaciano tiene este aspecto en coordenadas rectangulares:

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En coordenadas esféricas, que es un poco complicado, pero se puede simplificar más tarde. Echa un vistazo a el operador Laplaciano esférica:

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Aquí, L2 es el cuadrado del momento angular orbital:

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Así que en coordenadas esféricas, la Schr # 246-dinger ecuación para un potencial centro tiene este aspecto cuando se sustituye en los términos:

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Echa un vistazo a la ecuación anterior. El primer término corresponde efectivamente a la energía cinética radial - es decir, la energía cinética de la partícula que se mueve en la dirección radial. El segundo término corresponde al la energía cinética de rotación. Y el tercer término corresponde al energía potencial.

Entonces, ¿qué se puede decir de las soluciones a esta versión de la Schr # 246-dinger ecuación? Usted puede notar que el primer término depende sólo r, al igual que el tercero, y que el segundo término depende sólo de los ángulos. Así que usted puede romper la función de onda,

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en dos partes:

  • Una parte radial

  • Una parte que depende de los ángulos

Esta es una propiedad especial de los problemas con los potenciales centrales.




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