Resolución de la función de onda pequeña ry r grande utilizando el schr & # ecuación 246-dinger
Su instructor física cuántica puede pedirle que resuelva para la función de onda para una partícula inventada de la masa m
en un átomo de hidrógeno. Para hacer esto, puede comenzar utilizando un Schr # 246-dinger ecuación modificada que resuelve para grandes y pequeños r:
Debido a que el Schr # 246-dinger ecuación contiene términos que implican cualquiera R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que usted puede buscar una solución de la siguiente forma:
Sustituyendo la ecuación anterior en la que antes de que te da el siguiente:
Y dividiendo esta ecuación por
te dio
Esta ecuación tiene términos que dependen de cualquiera
pero no ambos. Esto significa que puede separar esta ecuación en de dos ecuaciones, como este (donde la energía total, E, es igual a ER + Er):
Multiplicando
te dio
Y multiplicando
te dio
Ahora se puede resolver r, pequeños y grandes.
Despejando pequeña r
El Schr # 246-dinger ecuación para
es la función de onda para una partícula inventada de la masa m (en la práctica,
es bastante cerca de
por lo que la energía, Er, es bastante cercano a la energía del electrón). Aquí está la Schr # 246-dinger ecuación para
Puede romper la solución,
en una parte radial y una parte angular:
La parte angular de
se compone de armónicos esféricos,
así que está bien esa parte. Ahora usted tiene que resolver para la parte radial, Rnl(r). Esto es lo que la ecuación # 246-dinger Schr se convierte para la parte radial:
dónde
Para resolver esta ecuación, que eche un vistazo a los dos casos - donde r es muy pequeño y donde r es muy grande. Ponerlos juntos le da la forma aproximada de la solución.
Despejando grande r
Por muy grande r,
Debido a que el electrón se encuentra en un estado ligado en el átomo de hidrógeno, E lt; 0- por lo tanto, la solución a la ecuación anterior es proporcional a
Tenga en cuenta que
diverge como r tiende a infinito debido a la
plazo, por lo B debe ser igual a cero. Eso significa que
-
Aplicando la ecuación schr & # 246-dinger en tres dimensiones -
Aplicando la ecuación radial fuera de la plaza, así -
Calcula la función de onda de un átomo de hidrógeno utilizando la schr & # ecuación 246-dinger -
Combinar las soluciones para pequeñas y grandes r r en el schr & # 246-dinger ecuación -
La determinación de la parte radial de una función de onda -
Encontrar el schr & # 246-dinger ecuación para el átomo de hidrógeno
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