Cómo agregar dependencia del tiempo y obtener una ecuación física para los problemas de partículas libres en tres dimensiones
En algún momento, su instructor física cuántica puede querer que usted agregue dependencia del tiempo y obtener una ecuación física para un problema partícula libre en tres dimensiones. Puede agregar dependencia del tiempo de la solución para
si se recuerda que, para una partícula libre,
Esa ecuación que da esta forma de
Porque
la ecuación se convierte en
De hecho, ahora que el lado derecho de la ecuación es en términos del radio vector r, usted puede hacer el partido del lado izquierdo:
Esa es la solución a la Schr # 246-dinger ecuación, pero es no físico. ¿Por qué? Tratando de normalizar esta ecuación en tres dimensiones, por ejemplo, se da la siguiente, donde A es una constante:
(Recuerde que el símbolo del asterisco
Por lo tanto, los integral diverge y usted no puede normalizar
como escrito aquí. Entonces, ¿qué hace usted aquí para obtener una partícula física?
La clave para resolver este problema es darse cuenta de que si usted tiene una serie de soluciones a la Schr # 246-dinger ecuación, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones es también una solución. En otras palabras, se agregan varias funciones de onda en conjunto de manera que se obtiene una paquete de ondas, que es una colección de funciones de onda de la forma
de tal manera que
Las funciones de onda interfieren constructivamente en una ubicación.
Interfieren destructiva (ir a cero) en todos los demás lugares.
Mira la versión independiente del tiempo:
Sin embargo, para una partícula libre, los estados de energía no están separados en distintas bandas- las posibles energías son continuas, por lo que la gente escribe esta suma como una integral:
Entonces, ¿qué es
Es el análogo tridimensional de
Es decir, es la amplitud de cada función de onda componente. Puede encontrar
a partir de la transformada de Fourier
Me gusta esto:
En la práctica, usted elige
tú mismo. Mira un ejemplo, utilizando el siguiente formulario para
que es para un paquete de ondas gaussiano (Nota: La parte exponencial es lo que hace de esta una forma de onda de Gauss):
dónde la y A son constantes. Usted puede comenzar por la normalización
para determinar que A es. He aquí cómo funciona:
Bueno. Realización de la integral que da
lo que significa que la función de onda es
Usted puede evaluar esta ecuación para darle el siguiente, que es lo que la función de onda independiente del tiempo para un paquete de ondas gaussiano se ve como en 3D:
-
Aplicando la ecuación schr & # 246-dinger en tres dimensiones -
Aplicando la ecuación radial fuera de la plaza, así -
La determinación de la parte radial de una función de onda -
Encontrar los límites de rho pequeños y grandes de una partícula libre -
Encontrar la ecuación de energía total para los problemas de partículas libres en tres dimensiones -
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