Cómo evaluar una integral impropia que es horizontalmente infinita
Integrales impropias son útiles para resolver una variedad de problemas. LA horizontalmente infinita integral impropia contiene ya sea # 8734- o - # 8734- (o ambos) como un límite de la integración.
Evaluación de una integral impropia es un proceso de tres pasos:
Expresar la integral impropia como el límite de un integrante adecuada.
Evaluar la integral por cualquier método funciona.
Evaluar el límite.
Una integral impropia horizontal se produce cuando una integral definida tiene un límite de integración que es ya sea # 8734- o - # 8734-. Este tipo de integral impropia es fácil de detectar porque el infinito es allí mismo, en la propia integral. Usted no podrá pasarlo de largo.
Por ejemplo, suponga que desea evaluar la siguiente integral impropia:
He aquí cómo lo haces, paso a paso:
Expresar la integral impropia como el límite de un integrante adecuada.
Cuando el límite superior de integración es # 8734-, utilice esta ecuación:
Así que aquí es lo que haces:
Evaluar la integral:
Evaluar el límite:
Antes de continuar, reflexionar por un momento que el área bajo una infinitamente larga curva es en realidad finito. Ah, la magia y el poder de cálculo!
Del mismo modo, supongamos que usted desea evaluar lo siguiente:
He aquí cómo se hace:
Expresar la integral como el límite de un integrante adecuada.
Cuando el límite inferior de integración es - # 8734-, utilice esta ecuación:
Así que aquí está lo que usted escribe:
Evaluar la integral:
Evaluar el límite - en este caso, como c se acerca - # 8734-, el primer término no se ve afectada y el segundo término se aproxima a 0:
Una vez más, el cálculo le indica que, en este caso, el área bajo una curva infinitamente larga es finito.
Por supuesto, a veces el área bajo una curva infinitamente largo es infinito. En estos casos, la integral impropia no puede ser evaluada debido a que el límite no existe (DNE). Aquí está un ejemplo rápido que ilustra esta situación:
Puede que no sea obvio que esta integral impropia representa un área infinitamente grande. Después de todo, el valor de la función se aproxima a 0 como X aumenta. Pero ten cuidado con cómo esta evaluación juega:
Expresar la integral impropia como el límite de un integrante adecuado:
Evaluar la integral:
En este punto, se puede ver que el límite explota hasta el infinito, por lo que no existe. Por lo tanto, la integral impropia no puede ser evaluada, debido a que el área que representa es infinito.
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