Cómo comparar dos proporciones poblacionales

A efectos estadísticos, se puede comparar dos poblaciones o grupos cuando la variable es categórica (por ejemplo, fumador / no fumador, Demócrata / Republicano, el apoyo / oposición de una opinión, etc.) y que está interesado en la proporción de individuos con un cierta característica - por ejemplo, la proporción de fumadores.

Para hacer esta comparación, dos (separadas) muestras aleatorias independientes deben ser seleccionados, uno de cada población. La hipótesis nula H₀ es que las dos proporciones de población son el mismo: en otras palabras, que su diferencia es igual a 0. La notación para la hipótesis nula es H₀: p₁ = p₂, dónde p₁ es la proporción de la primera población, y p₂ es la proporción de la segunda población.

Indicando en H₀ que las dos proporciones son iguales es lo mismo que decir su diferencia es cero. Si usted comienza con la ecuación p₁ = p₂ y restar p₂ de cada lado, se obtiene p₁ - p₂ = 0. Así que usted puede escribir la hipótesis nula de cualquier manera.

La fórmula de la estadística de prueba comparar dos proporciones (bajo ciertas condiciones) es

dónde

es la proporción en la primera muestra con la característica de interés,

es la proporción en la segunda muestra, con la característica de interés,

es la proporción en la muestra combinada (todos los individuos de la primera y segunda muestras juntas) con la característica de interés, y z es un valor en el Z-distribución. Para el cálculo de la estadística de prueba, haga lo siguiente:

1. Calcule las proporciones de la muestra

   

   para cada muestra. Para ello let n₁ y n₂ representar los dos tamaños de muestra (que no necesitan ser iguales). Para rho_1, divida el número de individuos en la primera muestra que tienen la característica de interés por n₁. Para rho_2, divida el número de individuos en la segunda muestra que tienen la característica de interés por n₂.

2. Encuentra la diferencia entre las dos proporciones muestrales,

   

3. Calcular el porcentaje total de la muestra

   

   el número total de individuos de ambas muestras que tienen la característica de interés (por ejemplo, el número total de los fumadores, hombres o mujeres, combinado de ambas muestras), dividido por el número total de individuos de ambas muestras (n₁ + n₂).

4. Calcule el error estándar:

   

5. Divida el resultado del paso 2 por el resultado del paso 4.

   Esta respuesta es la estadística de prueba.

Para interpretar la estadística de prueba, busque su estadística de prueba en la normal estándar (Z-) Distribución (ver el siguiente Z-tabla) y calcular el p-con valor y luego tomar decisiones, como de costumbre.

Por ejemplo, los fabricantes de Adderall, un medicamento para el trastorno de hiperactividad con déficit de atención (TDAH), informó que 26 de los 374 pacientes (7%) que tomaron el vómito drogas experimentado como un efecto secundario, en comparación con 8 de los 210 sujetos (4 %) que estaban en un placebo (fármaco falso). Tenga en cuenta que los pacientes no sabían qué tratamiento se les dio. En la muestra, un mayor porcentaje de la población en la droga experimentó vómitos, pero es este porcentaje suficiente para decir que toda la población de la droga experimentaría más vómitos? Usted puede probar a ver.

En este ejemplo, usted tiene H₀: p₁ - p₂ = 0 frente a H_la: p₁ - p₂ > 0, donde p₁ representa la proporción de todos los pacientes que vomitaría al usar Adderall, y p₂ representa la proporción de todos los pacientes que se vomitar cuando se utiliza el placebo.

¿Por qué H_la contener una "> " firmar y no una " lt; " ¿firmar? H_la representa el escenario en el que los que tomaban experiencia Adderall más vómitos que los del placebo - eso es algo que la FDA (y cualquier candidato a la droga) querrían conocer. Pero el orden de los grupos es importante, también. Usted quiere configurarlo para el grupo Adderall es primero, por lo que cuando se toma la proporción Adderall menos la proporción de placebo, se obtiene un número positivo si H_la es cierto. Si cambia los grupos, el signo hubiera sido negativo.

Ahora el cálculo de la estadística de prueba:

1. En primer lugar, determinar que

   

   Tenga en cuenta los tamaños de las muestras son n₁ = 374 y n₂ = 210, respectivamente.

2. Tome la diferencia entre estas proporciones muestrales para obtener

   

3. Calcular el porcentaje total de la muestra para obtener

   

4. El error estándar es

   

5. Finalmente, el resultado es

   

   ¡Menos mal!

los p-valor es la probabilidad de estar en o más allá (en este caso a la derecha) 1.60, que es 1 a 0,9452 = 0,0548. Esta p-valor es ligeramente superior a 0,05, por lo que, técnicamente, no tiene más que suficiente evidencia para rechazar H₀. Eso significa que, según sus datos, vómito no se experimenta mucho más por los que tomaron este fármaco en comparación con un placebo.

Usted podría preguntarse, " Hey, la diferencia en las proporciones de la muestra es 0,032, que muestra que el fármaco induce más vómitos que el placebo. ¿Por qué la prueba de hipótesis rechazar H₀ desde 0.032 es obviamente mayor que 0 "? En este caso, 0.032 no es significativamente mayor que 0. También es necesario tener en cuenta la variación utilizando el error estándar y la distribución normal para poder decir algo acerca de toda la población de pacientes.