Analizar un circuito RLC utilizando métodos LaPlace

El uso de la transformada de Laplace como parte de su análisis de circuitos le proporciona una predicción de respuesta del circuito. Analizar los polos de la transformada de Laplace para obtener una idea general del comportamiento de salida. Polos reales, por ejemplo, indican el comportamiento de salida exponencial.

Siga estos pasos básicos para analizar un circuito utilizando técnicas de Laplace:

1. Desarrollar la ecuación diferencial en el dominio del tiempo usando las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de los elementos.

2. Aplicar la transformación de Laplace de la ecuación diferencial para poner la ecuación en la s-dominio.

3. Algebraicamente resolver para la solución, o la respuesta transformar.

4. Aplicar la transformación inversa de Laplace para producir la solución de la ecuación diferencial original descrito en el dominio del tiempo.

Para sentirse cómodo con este proceso, sólo hay que practicar su aplicación a diferentes tipos de circuitos tales como un RC (resistencia-condensador) de circuito, un RL (resistor-inductor) del circuito, y un (resistor-inductor-condensador) circuito RLC .

Aquí se puede ver un circuito RLC en el que el interruptor ha estado abierta durante mucho tiempo. El interruptor se cierra en el momento t = 0.

En este circuito, tiene la siguiente ecuación KVL:

v_R(t) + v_L(t) + v (t) = 0

A continuación, la formulación de la ecuación elemento (o i-v característica) para cada dispositivo. La ley de Ohm describe la tensión en la resistencia (señalando que i (t) = i_L(t) debido a que el circuito está conectado en serie, donde I (s) = I_L(s) son las transformadas de Laplace):

v_R(t) = i (t) R

Elemento de la ecuación de El inductor está dada por

Y el elemento de la ecuación de condensador es

Aquí, v_C(0) = V₀ es la condición inicial, y es igual a 5 voltios.

Sustituyendo las ecuaciones de los elementos, v_R(televisión_C(t), y v_L(t), en la ecuación KVL le da la siguiente ecuación (con un nombre de fantasía: la integro-diferencial de la ecuación):

El siguiente paso es aplicar la transformada de Laplace de la ecuación anterior para encontrar un Es) que satisface la ecuación integro-diferencial para un conjunto dado de condiciones iniciales:

La ecuación anterior se utiliza la propiedad de linealidad que le permite tomar la transformada de Laplace de cada término. Para el primer término en el lado izquierdo de la ecuación, se utiliza la propiedad de diferenciación para conseguir transformar el siguiente:

Utiliza esta ecuación yo_L(s) = # 8466-[ello)], y yo₀ es la corriente inicial que fluye a través del inductor. Debido a que el interruptor está abierto por un largo tiempo, la condición inicial yo₀ es igual a cero.

Para el segundo término de la ecuación KVL tratar con la resistencia R, la transformada de Laplace es simplemente

# 8466- [i (t) R] = I (s) R

Por tercer término en la expresión KVL tratar con condensador C, Tienes

La transformada de Laplace de integro-diferencial ecuación se convierte en

Reorganizar la ecuación y resuelve para Es):

Para obtener la solución dominio del tiempo ello), utilice la siguiente tabla, y observe que la ecuación anterior tiene la forma de una sinusoide de amortiguación.

Ahora, usted enchufa yo₀ = 0 y algunos números de esta figura:

Ahora tienes esta ecuación:

Usted terminará con la siguiente solución:

i (t) = [-0.01e^-400t sin500t] u (t)

Para este circuito RLC, usted tiene una sinusoide de amortiguación. Las oscilaciones morirán después de un largo período de tiempo. Para este ejemplo, la constante de tiempo es 1/400 y se extinguirá después de 5/400 = 1/80 segundos.