Cómo analizar la convergencia absoluta y condicional
Muchas series divergentes de términos positivos convergen si cambia las señales de sus condiciones de forma que alternan entre positivo y negativo. Por ejemplo, usted sabe que la serie armónica diverge:
Pero, si cambia cualquier otro signo a negativo, se obtiene el alternando serie armónica, que converge:
Por cierto, esta serie converge a ln 2, lo que equivale a alrededor de 0,6931.
Una serie alternante se dice que es condicionalmente convergente si es convergente, ya que es, pero se convertiría divergente si todos sus términos se hicieron positiva. Una serie alternante se dice que es absolutamente convergente si sería convergente incluso si todos sus términos se hicieron positiva. Y cualquier dicha serie absolutamente convergente también es convergente automáticamente tal como es.
He aquí un ejemplo. Determinar la convergencia o divergencia de la siguiente serie alternante:
Si todos estos términos fueron positivos, tendrías la serie geométrica familiar,
que, por regla serie geométrica, converge a 2. Debido a la serie positiva converge, la serie alterna también debe converger y que decir que la serie alterna es absolutamente convergente.
El hecho de que la convergencia absoluta implica la convergencia ordinaria es sólo sentido común, si se piensa en ello. La serie geométrica anterior de términos positivos converge a 2. Si ha realizado todos los términos negativos, sería sumar a -2, ¿verdad? Así que, si algunos de los términos son positivos y otros negativos, la serie debe converger a algo entre -2 y 2.
¿Te diste cuenta de que la serie alternada de arriba es una serie geométrica tal cual con
(Recordemos que la fórmula para la suma de una serie geométrica funciona siempre r está entre -1 y 1- Por lo tanto, funciona para la serie alterna, así como para la serie positivo) La fórmula da su suma.:
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