La determinación de si una serie de Taylor es convergente o divergente
Debido a que la serie de Taylor es una forma de series de potencias, cada serie de Taylor también tiene un intervalo de convergencia. Cuando este intervalo es todo el conjunto de los números reales, se puede utilizar la serie para encontrar el valor de F(X) Para cada valor real de X.
Sin embargo, cuando está limitado el intervalo de convergencia de una serie de Taylor - es decir, cuando diverge para algunos valores de X - se puede utilizar para encontrar el valor de F(X) solamente en su intervalo de convergencia.
Por ejemplo, aquí están los tres importantes series de Taylor:
Los tres de estas series convergen para todos los valores reales de X, por lo que cada es igual al valor de su respectiva función.
Ahora consideremos la siguiente función:
Es necesario expresar esta función como una serie de Maclaurin, que toma esta forma:
La notación F(n) medio " la nTH derivado de F." Esto se hace más claro en la versión ampliada de la serie de Maclaurin:
Para hacer esto, siga estos pasos:
Encuentra los primeros derivados de
hasta que reconozcas un patrón:
Sustituto 0 para X en cada uno de estos derivados:
Conecte estos valores, término a término, en la fórmula para la serie de Maclaurin:
Si es posible, expresar la serie en notación sigma:
Para probar esta fórmula, se puede utilizar para encontrar F(X) cuando
Usted puede probar la exactitud de esta expresión mediante la sustitución
Como puede ver, la fórmula produce la respuesta correcta. Ahora trata de usarlo para encontrar F(X) cuando X = 5, y señaló que la respuesta correcta debería ser
¿Que pasó? Esta serie converge sólo en el intervalo (-1, 1), por lo que la fórmula produce sólo el valor F(X) cuando X Es en este intervalo. Cuando X está fuera de este intervalo, la serie diverge, por lo que la fórmula es válida.
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