Cálculo de límites de error para taylor polinomios
Un polinomio de Taylor se aproxima al valor de una función, y en muchos casos, es útil para medir la exactitud de una aproximación. Esta información es proporcionada por el Taylor plazo restante:
F(X) = Tn(X) + Rn(X)
Tenga en cuenta que la adición del término restante Rn(X) Convierte a la aproximación en una ecuación. Aquí está la fórmula para el término restante:
Es importante tener claro que esta ecuación se cumple para un solo específico valor de c en el intervalo entre la y X. Lo hace no trabajar para cualquier valor de c en ese intervalo.
Idealmente, el término resto le da la diferencia precisa entre el valor de una función y la aproximación Tn(X). Sin embargo, debido a que el valor de c es incierto, en la práctica, el término resto realmente ofrece un escenario peor de los casos para su aproximación.
El siguiente ejemplo debería ayudar a hacer que esta idea clara, utilizando el sexto grado del polinomio de Taylor para cos X:
Supongamos que usted usa este polinomio para aproximar cos 1:
¿Qué tan precisa es esta aproximación probable que sea? Para averiguarlo, usar el término restante:
cos 1 = T6(X) + R6(X)
Adición de los restantes asociados cambios a largo plazo esta aproximación en una ecuación. Aquí está la fórmula para el término restante:
Así sustituyendo 1 para X te dio:
En este punto, usted es aparentemente atascado, porque usted no sabe el valor del pecado c. Sin embargo, usted puede conectar c = 0 y c = 1 para darle un rango de valores posibles:
Tenga en cuenta que esta desigualdad se debe a que el intervalo involucrados, y debido a que aumenta el seno de ese intervalo. Usted puede obtener una cota diferente con un intervalo diferente.
Esto simplifica para proporcionar una aproximación muy cercana:
Así, el término resto predice que el valor aproximado calculado anteriormente estará dentro de 0,00017 del valor real. Y, de hecho,
Como puede ver, la aproximación se encuentra dentro de los límites de error previstos por el término restante.
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