Expresar y se aproximan a las funciones utilizando la serie de Taylor
Es importante entender la diferencia entre eXpressing una función como una serie infinita y lapproximating una función mediante el uso de un número finito de términos de la serie. Usted puede pensar en una serie de potencias como un polinomio con un número infinito de términos (Taylor polinómicas).
Cada serie de Taylor proporciona el valor exacto de una función para todos los valores de X donde la serie converge. Es decir, para cualquier valor de X en su intervalo de convergencia, una serie de Taylor converge a F(X).
Aquí está la serie de Taylor en todo su esplendor:
En la práctica, sin embargo, la suma de un número infinito de términos, simplemente no es posible. Sin embargo, se puede aproximar el valor de F(X) Mediante la adición de un número finito de la serie de Taylor apropiado.
Una expresión construido a partir de un número finito de términos de una serie de Taylor se llama Polinomio de Taylor, Tn(X). Al igual que otros polinomios, un polinomio de Taylor se identifica por su grado. Por ejemplo, aquí está el quinto grado del polinomio de Taylor, T5(X), Que se aproxima eX:
En términos generales, un mayor grado resultados polinomio en una mejor aproximación. Para el valor de eX cuando X es cerca de 100, se obtiene una buena estimación utilizando un polinomio de Taylor de eX con la = 100:
En resumen, recuerde lo siguiente:
Una serie de Taylor convergente expresa el valor exacto de una función.
Un polinomio de Taylor, Tn(X), De una serie convergente se aproxima al valor de una función.
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