Expresando funciona como serie de potencias utilizando la serie de Maclaurin
los Serie de Maclaurin es una plantilla que le permite expresar muchas otras funciones como series de potencias. Es la fuente de las fórmulas para expresar tanto el pecado X y cos X series como infinito.
Sin más preámbulos, aquí está:
La notación F(n) medio " la nTH derivado de F." Esto se hace más claro en la versión ampliada de la serie de Maclaurin:
La serie de Maclaurin le permite expresar funciona como serie de potencias siguiendo estos pasos:
Encuentra las primeras derivadas de la función hasta que reconozcas un patrón.
Sustituto 0 para X en cada uno de estos derivados.
Conecte estos valores, término a término, en la fórmula para la serie de Maclaurin.
Si es posible, expresar la serie en notación sigma.
Por ejemplo, supongamos que usted quiere encontrar la serie de Maclaurin para eX.
Encuentra los primeros derivados de eX hasta que reconozcas un patrón:
Sustituto 0 para X en cada uno de estos derivados.
Conecte estos valores, término a término, en la fórmula para la serie de Maclaurin:
Si es posible, expresar la serie en notación sigma:
Para comprobar esta fórmula, lo utilizan para estimar e0 y e1 mediante la sustitución de 0 y 1, respectivamente, en los primeros seis términos:
Este ejercicio uñas e0 exactamente, y se aproxima e1 con dos decimales. La serie de Maclaurin para eX Le permite calcular esta función para cualquier valor de X a cualquier número de cifras decimales.
Sin embargo, la serie de Maclaurin para eX funciona mejor cuando X está cerca de 0. Como X se aleja de 0, es necesario calcular más términos para obtener el mismo nivel de precisión.
Pero ahora, usted puede comenzar a ver por qué la serie de Maclaurin tiende a dar mejores aproximaciones a valores cercanos a 0: El número 0 es " cableado " en la fórmula como F(0), F'(0), F"(0), y así sucesivamente.
La figura ilustra este punto. El primer gráfico muestra el pecado X aproximada mediante el uso de los dos primeros términos de la serie de Maclaurin - que es, como el polinomio de tercer grado
El segundo gráfico muestra una aproximación del pecado X con cuatro términos.
Como puedes ver, cada aproximación sucesiva mejora sobre la anterior. Además, cada ecuación tiende a ofrecer su mejor aproximación cuando X está cerca de 0.
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