Cómo calcular los valores para las seis funciones trigonométricas
En pre-cálculo, es necesario evaluar las seis funciones trigonométricas - seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente - para un solo ángulo en el círculo unitario. Para cada ángulo en la circunferencia unidad, otros tres ángulos tienen valores de la función trigonométrica similares. La única diferencia es que los signos de estos valores son opuestas, dependiendo de qué cuadrante del ángulo es. A veces el ángulo no será en el círculo unitario y tendrás que usar la calculadora.
Si usted no tiene el círculo unidad a su disposición (si usted está tomando un examen, por ejemplo), puede dibujar una imagen y encontrar los valores que necesita el camino largo.
La definición de punto en el plano del coseno en un triángulo rectángulo es
Debido a que la hipotenusa r es siempre 1 en la unidad de círculo, el X valor es el valor del coseno. Y si usted recuerda la definición alternativa de seno,
te darás cuenta de que el y valor es el valor del seno. Por lo tanto, cualquier punto en cualquier lugar en el círculo unitario es siempre
Hable acerca de poner todas las piezas juntas!
Por orden alfabético, X viene antes y y c viene antes s (coseno viene antes de seno, en otras palabras). Este hecho debe ayudarle a recordar cuál es cuál.
Tangente, cotangente, secante y cosecante requieren un poco más de esfuerzo que el seno y el coseno hacer. Para muchos ángulos en el círculo unitario, la evaluación de estas funciones requiere un trabajo cuidadoso con fracciones y raíces cuadradas. Recuerde siempre racionalizar el denominador para cualquier fracción en su respuesta final. Además, recuerde que cualquier número dividido por 0 no está definido. Las funciones tangentes y secantes, por ejemplo, no están definidos cuando el valor del coseno es 0. Del mismo modo, los valores cotangente y cosecante son indefinido cuando el valor del seno es 0.
Tiempo para un ejemplo. Para evaluar las seis funciones trigonométricas de 225 grados utilizando el círculo unidad, siga estos pasos:
Dibuja la imagen.
Cuando se le pide que encontrar la función trigonométrica de un ángulo, usted no tiene que dibujar un círculo unidad cada vez. En su lugar, utilice su inteligencia para descubrir la imagen. Para este ejemplo, 225 grados es de 45 grados más de 180 grados. Dibuja un triángulo 45-45-90 grados en apenas el tercer cuadrante.
Rellene las longitudes de las piernas y la hipotenusa.
Un triángulo 45er, ataviado como un árbol de Navidad.Utilice las reglas del triángulo 45er. La coordenada del punto en 225 grados es
La figura muestra el triángulo, así como toda la información para evaluar las seis funciones trigonométricas.
¡Sé cuidadoso! Usa lo que sabes acerca de los ejes positivos y negativos en el plano de coordenadas para ayudarle. Debido a que el triángulo es en el tercer cuadrante, tanto el X y y Los valores deben ser negativos.
Encuentra el seno del ángulo.
El seno de un ángulo es la y valor, o la línea vertical que se extiende desde el punto en el círculo unitario a la X-eje. Para 225 grados, el y valor es
Encuentra el coseno del ángulo.
El valor del coseno es la X valor, por lo que debe ser
Encuentra la tangente del ángulo.
Para encontrar la tangente de un ángulo en la circunferencia unidad, se utiliza la definición alternativa de la tangente:
Otra forma de verlo es que
porque en el círculo unidad, la y valor es el seno y el X valor es el coseno. Así que si usted sabe el seno y el coseno de cualquier ángulo, también sabes la tangente. (Gracias, círculo unidad!) El seno y el coseno de 225 grados son a la vez
Por lo tanto, se puede dividir el seno por el coseno para obtener la tangente de 225 grados, que es 1.
Encuentra la cosecante del ángulo.
La cosecante de cualquier ángulo es
o r/y, mediante la definición de punto en el plano. Usando lo que determinó en el paso 1,
Ahora puede dividir 1 por
Encuentra la secante del ángulo.
El secante de cualquier ángulo es
Debido a que el coseno de 225 grados es también
encontrado en el paso 4, la secante de 225 grados es
Encuentra la cotangente del ángulo.
La cotangente de un ángulo es
Desde el Paso 5, tan (225 grados) = 1. Así cuna (225 grados) = 1/1 = 1. Tan fácil como pastel!
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