Cómo graficar una hipérbola

Piense de una hipérbola como una mezcla de dos parábolas - cada una de ellas una imagen de espejo perfecto de la otra, cada abertura de distancia el uno del otro. Los vértices de estos parábolas están a una distancia dada de separación, y se abren, ya sea vertical u horizontalmente.

La definición matemática de una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en los que la diferencia en la distancia entre dos puntos fijos (llamado focos) Es constante.

Hay dos tipos de hipérbolas: horizontal y vertical.

La ecuación para una hipérbola horizontal es

La ecuación para una hipérbola vertical es

Darse cuenta de X y y cambiar de lugar (así como la h y v con ellos) para nombrar horizontal frente vertical, en comparación con elipses, pero la y b quedarse quieto. Así, por hipérbolas, la-cuadrado siempre debe ser lo primero, pero no es necesariamente mayor. Más exactamente, la Siempre está al cuadrado bajo el término positivo (ya sea X-cuadrado o y-al cuadrado). Básicamente, para obtener una hipérbola en la forma estándar, usted necesita estar seguro de que el término al cuadrado positivo es primero.

El centro de una hipérbola no es en realidad en la curva en sí, sino exactamente entre los dos vértices de la hipérbola. Siempre trazar el centro primero, y luego contar hacia fuera del centro para encontrar los vértices, ejes y asíntotas. Una hipérbola tiene dos ejes de simetría. El que pasa por el centro y los dos focos se llama eje transversal- el que es perpendicular al eje transversal a través del centro se llama eje conjugadas. Una hipérbola horizontal tiene su eje transversal en y = v y su eje conjugado a X = h- una hipérbola vertical tiene su eje transversal en X = h y su eje conjugado a y = v.

Usted puede ver los dos tipos de hipérbolas en la figura anterior: una hipérbola horizontal a la izquierda, y una vertical a la derecha.

Si la hipérbola que usted está tratando de graficar no está en forma estándar, entonces usted necesita para completar el cuadrado para obtener en forma estándar.

Por ejemplo, la ecuación

es una hipérbola vertical. El centro (h, v) Es (-1, 3).

(lo que significa que usted cuenta horizontalmente 3 unidades del centro, tanto a la izquierda ya la derecha). La distancia desde el centro hasta el borde del rectángulo marcado " a " determina medio de la longitud del eje transversal, y la distancia hasta el borde del rectángulo marcado " b " determina el eje conjugado. En una hipérbola, la podría ser mayor que, menor que, o igual a b. Si se cuentan a cabo la unidades del centro a lo largo del eje transversal, y b unidades del centro en ambas direcciones a lo largo del eje conjugadas, estos cuatro puntos serán los puntos medios de los lados de un rectángulo muy importante. Este rectángulo tiene lados que son paralelos a la X- y y-eje (en otras palabras, no sólo tiene que conectar los cuatro puntos, ya que son los puntos medios de los lados, no las esquinas del rectángulo). Este rectángulo será una guía útil cuando es el momento de graficar la hipérbola.

Pero como se puede ver en la figura anterior, hipérbolas contienen otras partes importantes que usted debe considerar. Por ejemplo, una hipérbola tiene dos vértices. Hay dos ecuaciones diferentes - uno para horizontal y uno para hipérbolas verticales:

• Una hipérbola horizontal tiene vértices en (h # 177- la, v).

• Una hipérbola vertical tiene vértices en (h, v # 177- la).

Los vértices para el ejemplo anterior están en (-1, 3 # 177- 4), o (-1, 7) y (-1, -1).

Usted encuentra los focos de cualquier hipérbola utilizando la ecuación

dónde F es la distancia desde el centro hacia los focos a lo largo del eje transversal, el mismo eje que los vértices están encendidas. La distancia F se mueve en la misma dirección que la. Siguiendo este ejemplo,

Para nombrar los focos como puntos en una hipérbola horizontal, que utiliza (h # 177- F, v) - A nombrarlos en una hipérbola vertical, que utiliza (h, v # 177- F). Los focos en el ejemplo sería (-1, 3 177- # 5), o (-1, 8) y (-1, -2). Tenga en cuenta que esto los coloca dentro de la hipérbola.

A través del centro de la hipérbola ejecutar las asíntotas de la hipérbola. Estos asíntotas ayudar a guiar su dibujo de las curvas porque las curvas no pueden cruzar en cualquier punto de la gráfica.

Para graficar una hipérbola, siga estos sencillos pasos:

1. Marque el centro.

   Siguiendo con el ejemplo hipérbola

   

   Usted encontrará que el centro de la hipérbola es (-1, 3). Recuerde que debe cambiar los signos de los números dentro de los paréntesis, y también recordar que h está dentro de los paréntesis con X, y v está dentro de los paréntesis con y. Para este ejemplo, la cantidad con y-cuadrado es lo primero, pero eso no quiere decir que h y v cambiar de lugar. los h y v siendo siempre fiel a sus respectivas variables, X y y.

2. Desde el centro en el paso 1, encontrar la transversal y ejes conjugados.

   Ir arriba y abajo del eje transversal a una distancia de 4 (porque 4 es bajo y) Y, a continuación, ir a la derecha y la izquierda 3 (porque 3 es bajo X). Pero no conectar los puntos para obtener una elipse! Hasta ahora, los pasos de la elaboración de una hipérbola eran exactamente lo mismo que cuando usted dibujó una elipse, pero aquí es donde las cosas se ponen diferentes. Los puntos que ha marcado como la (en el eje transversal) son sus vértices.

3. Utiliza estos puntos para dibujar un rectángulo que ayudará a guiar la forma de su hipérbola.

   Porque usted fue arriba y abajo 4, la altura del rectángulo se 8- va a la izquierda y la derecha 3 le da una anchura de 6.

4. Dibujar líneas diagonales a través del centro y las esquinas del rectángulo que se extienden más allá del rectángulo.

   Esto le da dos líneas que serán sus asíntotas.

5. Dibuje las curvas.

   

   Dibuje las curvas, comenzando en cada vértice por separado, que abrazan las asíntotas cuanto más lejos de los vértices de la curva recibe.

   La gráfica se acerca a las asíntotas, pero en realidad nunca los toca. La figura anterior muestra la hipérbola terminado.