Cómo utilizar una derivada parcial para medir una pendiente en tres dimensiones
Puede utilizar una derivada parcial para medir una tasa de cambio en una dirección de coordenadas en tres dimensiones. Para hacer esto, usted visualiza una función de dos variables z = F(X, y) Como una superficie flotando sobre el xy-plano de un gráfico cartesiano 3-D. La siguiente figura contiene una función de ejemplo.
Ahora echa un vistazo a la función z = y, se muestra aquí.
Como puede ver, esta función se parece mucho a la cubierta inclinada de una casa. Imagínate a ti mismo de pie en esta superficie. Cuando usted camina en paralelo con el y-eje, la altitud o bien sube o baja. En otras palabras, como el valor de y cambios, también lo hace el valor de z. Pero cuando usted camina en paralelo con el X-eje, la altitud sigue siendo el mismo: el cambio del valor de X no tiene efecto en z.
Así que intuitivamente, se espera que la derivada parcial
es 1. También espera que la derivada parcial
es 0.
Cálculo de derivadas parciales no es mucho más difícil que la evaluación de derivados regulares. Dada una función z(X, y), Las dos derivadas parciales son
He aquí cómo usted calcula ellos:
Calcular
tratar y como una constante y el uso X como la variable de diferenciación.
Calcular
tratar X como una constante y el uso y como la variable de diferenciación.
Por ejemplo, supongamos que usted es dado la ecuación z = 5X2y3. Encontrar
tratar y como si fuera una constante - es decir, tratar todo el factor de 5y3 como si fuera una gran constante - y diferenciar X2:
Encontrar
tratar X como si fuera una constante - es decir, tratar 5X2 como si fuera la constante - y diferenciar y3:
Como otro ejemplo, supongamos que usted es dado la ecuación z = 2eX pecado y + ln X. Encontrar
tratar y como si fuera una constante y diferenciar por la variable X:
Encontrar
tratar X como si fuera una constante y diferenciar por la variable y:
Como se puede ver, al diferenciar por y, los ln X término se trata como una constante y se desvanece por completo.
Volviendo al ejemplo anterior - la " inclinada-techo " función z = y - aquí están las dos derivadas parciales de la función:
Como puede ver, este cálculo produce los resultados previstos.
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