¿Cómo diferenciar implícitamente
A veces se le pide para diferenciar una ecuación que no está resuelto por y, como y5 + 3X2 = Sen X - 4y3. Esta ecuación define y de forma implícita como una función de X, y no se puede escribir como una función explícita porque no puede ser resuelto por y. Para este problema, es necesario diferenciación implícita. Cuando la diferenciación implícita, todas las reglas derivadas funcionan de la misma, con una excepción: cuando a diferenciar un término con una y en ella, se utiliza la regla de la cadena con un pequeño giro.
Por ejemplo, puede utilizar la regla de la cadena para diferenciar algo así como el pecado (X3) De la siguiente manera: comenzar con la función de fuera, el pecado, y diferenciar que, ignorando lo que hay dentro - en este caso, X3. Para asegurarse de que usted ignora el interior, reemplace temporalmente la función de interior con la palabra cosas. En este ejemplo, el derivado de seno es coseno, por lo que la derivada de sen (cosas) es
Terminas el problema mediante la búsqueda de la derivada de la cosas, X3, que es 3X2, y luego hacer las sustituciones para darle
Con la diferenciación implícita, una y funciona como la palabra cosas. Por lo tanto, debido
El giro es que mientras que la palabra cosas está tomando temporalmente el lugar de algunos conocido funcion de X (X3 en este ejemplo), y es cierto desconocido funcion de X (usted no sabe lo que el y iguales en términos de X). Y porque usted no sabe lo que y iguales, la y y el
Pero el concepto es exactamente lo mismo, y te tratan y al igual que el cosas. Usted simplemente no puede hacer el cambio de nuevo a Xs al final del problema como usted puede con un problema regular de regla de la cadena.
He aquí un ejemplo. Diferenciar y5 + 3X2 = Sen X - 4y3:
Diferenciar cada término en ambas cosas lados de la ecuación.
y5 + 3X2 = Sen X - 4y3
Para el primer y cuarto términos, se utiliza la regla de poder y, debido a que estos términos contienen ys, también utilizan la regla de la cadena. Para el segundo período, se utiliza la regla de la potencia normal. Y para el tercer término, se utiliza la regla sine regular.
Recoge todos los términos que contienen una
en el lado izquierdo de la ecuación y todos los otros términos en el lado derecho.
Factorizar
Divida a la respuesta final.
Tenga en cuenta que este derivado se expresa en términos de X y y en lugar de sólo X. Por lo tanto, si desea evaluar la derivada para obtener la pendiente en un punto en particular, es necesario tener valores para ambos X y y para conectar a la derivada.
También tenga en cuenta que en muchos libros de texto, el símbolo
se utiliza en lugar de
en cada paso de soluciones como la que se muestra aquí. Usted puede encontrar
más fácil y menos engorroso para trabajar. Pero
¿Tiene la ventaja de que le recuerda que usted está encontrando la derivada de y con respecto a X. De cualquier manera está bien. Elige tu opción.
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