Integrar una función utilizando el caso tangente

Cuando la función está integrando incluye un término de la forma (la² + X²)ⁿ, llamar su trigonometría triángulo de sustitución para el caso tangente. Por ejemplo, supongamos que desea evaluar la siguiente integral:

Este es un caso tangente, debido a una constante más un múltiplo de X² está siendo elevado a una potencia (-2). He aquí cómo usted utiliza trig sustitución de integrar:

1. Dibuja el triángulo sustitución trigonométrica para el caso tangente.

   

   La figura muestra cómo rellenar el triángulo para el caso tangente. Observe que el radical de lo que hay dentro de los paréntesis va en la hipotenusa del triángulo. Luego, para completar los otros dos lados del triángulo, utilice las raíces cuadradas de los dos términos dentro del radical - es decir, 2 y 3X. Coloque el término constante 2 en el lado adyacente y el término variable de 3X en el lado opuesto.

   Con el caso tangente, asegúrese de no mezclar su colocación de la variable y el constante.

2. Identificar las piezas separadas de la integral (incluyendo dx) Que usted necesita expresar en términos de theta.

   En este caso, la función contiene dos piezas separadas que contienen X:

   

3. Exprese estas piezas en términos de funciones trigonométricas de theta.

   En el caso de la tangente, todas funciones trigonométricas deben expresarse inicialmente como tangentes y secantes.

   Para representar a la parte racional como una función trigonométrica de theta, construir una fracción usando el radical

   

   como numerador y la constante de 2 como denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica correspondiente:

   

   Debido a que esta fracción es la hipotenusa del triángulo sobre el lado adyacente

   

   es igual a

   

   Ahora usa el álgebra y la trigonometría identidades para modificar esta ecuación en forma:

   

   A continuación, expresar dx como una función trigonométrica de theta. Para ello, construir otra fracción con la variable 3X en el numerador y la constante 2 en el denominador:

   

   Esta vez, la fracción es el lado opuesto del triángulo sobre el lado adyacente

   

   por lo que es igual

   

   Ahora resolver X y luego diferenciar:

   

4. Expresar la integral en términos de theta y evaluarla:

   

   Ahora, algunos de cancelación y reorganización convierte esta integral en algo manejable de aspecto desagradable:

   

   En este punto, usted puede evaluar esta integral:

   

   Así que aquí está la sustitución:

   

   Y aquí está la primitiva:

   

5. Cambie los dos términos theta de nuevo en X términos:

   Usted necesita encontrar una manera de expresar theta en términos de X. Aquí está la forma más sencilla:

   

   Así que aquí está una sustitución que le da una respuesta:

   

Esta respuesta es válida, pero la mayoría de los profesores no estará loco por ese segundo mandato feo, con el seno de un arco tangente. Para simplificarlo, aplicar la fórmula del seno de doble ángulo para

Ahora usa tu triángulo sustitución trigonométrica para sustituir valores para

en términos de X:

Por último, utilizar este resultado para expresar la respuesta en términos de X: