¿Cómo encontrar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio posición
En la física cuántica, puede utilizar los operadores para determinar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio posición. El encanto de la utilización de los operadores la y
es que, dado el estado de la tierra, | 0>, los operadores permiten encontrar todos los estados de energía sucesivos. Si usted quiere encontrar un estado excitado de un oscilador armónico, se puede comenzar con el estado fundamental, | 0>, y aplicar el operador de fondos,
Por ejemplo, usted puede hacer esto:
Etcétera. En general, usted tiene esta relación:
¿No puedes conseguir un estado propio espacial de este vector propio? Algo como
no sólo | 0>? Sí puedes. En otras palabras, usted quiere encontrar
Por lo que necesita las representaciones de
en el espacio posición.
los p operador se define como
Porque
puedes escribir
Y la escritura
esto se convierte
Bien, ¿qué pasa con la la operador? Tu sabes
Y eso
Por Consiguiente,
También puede escribir esta ecuación como
Bueno, por lo que es la en la representación posición. Cuál es
Eso resulta ser la siguiente:
Ahora es el momento de ser inteligente. Usted desea resolver | 0> en el espacio de la posición, o lt; X | 0>. Aquí está la parte más inteligente - cuando se utiliza el operador de la reducción, la, on | 0>, usted tiene que conseguir 0 porque no hay estado más bajo que el estado fundamental, por lo que la | 0> = 0. Y la aplicación de la lt; X | sujetador le da lt; X | la | 0> = 0.
Eso es inteligente porque va a darle una ecuación diferencial homogénea (es decir, uno que es igual a cero). En primer lugar, usted sustituye por la:
Multiplicando ambos lados por
le da la siguiente
La solución a esta ecuación diferencial es compacto
Eso es una función gaussiana, por lo que el estado fundamental de un oscilador armónico cuántico es una curva de Gauss, como se ve en la figura.
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