Trabajar con tres dimensiones potenciales rectangulares
Este artículo echa un vistazo a un potencial 3D que forma una caja, como se ve en la siguiente figura. Quiere recibir las funciones de onda y los niveles de energía aquí.
![Un potencial de caja en 3D.](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_1.jpg)
Dentro de la caja, decir que V (X, y, z) = 0, y el borde del área, decir que
![image1.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_1.jpg)
Así que tienes lo siguiente:
![image2.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_2.jpg)
Dividiendo V (X, y, z) En VX(X), Vy(y), Y Vz(z) te dio
![image3.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_3.jpg)
Está bien, porque el potencial tiende a infinito en las paredes de la caja, la función de onda,
![image4.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_4.jpg)
debe ir a cero en las paredes, por lo que es su restricción. En 3D, el Schr # 246-dinger ecuación tiene este aspecto en tres dimensiones:
![image5.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_5.jpg)
Escribiendo esto le da lo siguiente:
![image6.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_6.jpg)
Tome esta dimensión por dimensión. Debido a que el potencial es separable, puede escribir
![image7.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_7.jpg)
Dentro de la caja, el potencial es igual a cero, por lo que el Schr # 246-dinger ecuación tiene este aspecto para X, y, y z:
![image8.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_8.jpg)
El siguiente paso es volver a escribir estas ecuaciones en términos del número de onda, k. Porque
![image9.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_9.jpg)
usted puede escribir las ecuaciones Schr # 246-Dinger para X, y, y z como las siguientes ecuaciones:
![image10.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_10.jpg)
Empieza por tomar un vistazo a la ecuación para X. Ahora usted tiene algo con qué trabajar - una ecuación diferencial de segundo orden,
![image11.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_11.jpg)
Estas son las dos soluciones independientes a esta ecuación, donde A y B son aún por determinar:
![image12.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_12.jpg)
Así que la solución general de
![image13.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_13.jpg)
es la suma de las dos últimas ecuaciones:
![image14.jpg](/uploads/posts/2015/10/working-with-three-dimensional-rectangular_14.jpg)